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Eine weitere Eigenschaft der Differentialgleichung (36) ist dadurch gegeben, daß sie 

 ungeändert bleibt, wenn man a durch eine Funktion A von a und ß durch eine Funktion 

 _B von ß und F (a, ß) durch F (A, JB) A' B l ersetzt, wie aus der geometrischen Bedeutung 

 hervorgeht. 



Durch Aufstellung aller Biegungsflächen einer gegebenen Fläche ist auch die Lösung 

 anderer Differentialgleichungen gegeben, auf die das Problem zurückgeführt werden kann. 

 Es gilt dies insbesondere von der Gleichung: 



auf welche Weingarten das Problem zurückgeführt hat 1 ) und in der q', q" die Krüm- 

 mungsradien der gegebenen Fläche bezeichnen, während u, v die Parameter von Kurven- 

 systemen sind, durch die das Quadrat des Linienelementes auf die Form 



ds 2 = dii- + 2pdudv -f- 2qdv 2 



gebracht wird. Zur Einführung dieser Parameter ist zuvor eine gewöhnliche Differential- 

 gleichung zu lösen, durch welche w, v auf a, ß zurückgeführt werden. 



§ 11. Die Biegungsflächen der Ebene. 



Um alle auf die Ebene abwickelbaren Flächen zu erhalten, genügt es, von einer 

 solchen auszugehen. Wir wählen den geraden Kreiszylinder mit dem Radius a, darge- 

 stellt durch die Gleichungen 



X = a cosin (a + ß), y = a sin (a-\-ß), z = ia(a — ß) = W 



ds 2 = ia 2 dadß = 2Fdadß = 4 — - a cosin 2 ~^ • dadß. 



da dß 2, 



Bei Anwendung der Formeln von § 5 hat man F 1 =a, also &=ia(a — ß) zu 

 setzen und: 



tg ). = — cotg (a -+- ß) = tg fi , cosin w = 1 , sin to = , w = , 



;. = ,„ = a+ß -^L, 



und nach (44): 



x = f [ — a sin (a-\- ß) da — a sin (a + ß) dß] , 



y — P [ — a cosin (a -f- ß) da — a cosin (a -\- ß) dß~] , z = ia (a — ß). 

 Da hier W aß = und W a = - - W ß ist, so folgt aus (82): 

 rem p dQ w dQ 



(91) E = Jß> R ~ 3a' 



wenn ß eine reelle Funktion von a und /? bezeichnet, also aus (81) 



0— W 1 



cosin oj = cosm 



Kß„ ü ß 



*) Comptes rendus t. CXII, 1891; vgl. Darboux, a. a. 0. t. 4, p. 308 ff. 

 Abb. d. math.-phys. Kl. XXIX, 3. Abh. 



