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Hierdurch ist $ — !F=3B bestimmt, und die Gleichungen (79) werden: 



V. = - |^ cotg »', V, - - i'-^ ctg W , 



In der Gleichung (84 b) wird infolge von (91): 



Q aa Q ßß — Qlß = , 



in Übereinstimmung mit (85). Da hier ct>' = ist, so ergibt sich aus (90): 



(92) £„£/, cosin 2 SB' = G; 



es können folglich dieselben Betrachtungen Platz greifen, wie oben im Anschlüsse an 

 Gleichung (86); d. h. ersetzt man in (86 a) W durch Q, co' durch SB', so ergibt sich, 

 daß Q a und Qß Funktionen von SB' sind, 



(93) Q = J [ v (SS') da + Wl (SB') dß] , 



wobei 



VCSGBO- V,(2B')«>sin»SEB' = 2 a* , 



( aj a vi(SB') + /Sv'(aBO = Z(2B'), 



wenn y und / willkürliche Funktionen bezeichnen. Damit sind die in § 10 aufgestellten 

 Gleichungen wieder gewonnen. Dort wurden sie erhalten, indem wir von der Forderung 

 eines verschwindenden Krümmungsmaßes ausgingen. Jetzt ergeben sie sich als Folge 

 unserer allgemeinen Lösung des Problems, die Bieguugsflächen einer gegebenen Fläche 

 (hier des geraden Kreiszylinders) anzugeben; aber sie erscheinen doch als ein Ausnahme- 

 fall dieser allgemeinen Formeln. Nach letzteren nämlich sind R und R' allein an die 

 Gleichung (82) gebunden, und diese ergibt hier das in (91) gegebene Resultat; aber im 

 Falle des Kreiszylinders bleibt Q nicht willkürlich, sondern infolge von (92) sind Q a und 

 Qß Funktionen einer Funktion SB' von a und ß, und dies bedingt die weitere Einschrän- 

 kung der Funktion Q, wie sie in (93) und (93a) erhalten wurde. Diese Ausnahme 

 kann offenbar auch nur dann eintreten, wenn die Fundamentalgröße F gleich 

 einer Konstanten ist. 



Als Beispiel nehmen wir die Fläche der Tangenten der gemeinen Schraubenlinie 

 auf dem Zylinder mit Radius a, dargestellt durch die Gleichungen: 



x = a cosin cp — ;■ sin cp • sin y , y = a sin cp -\- r cosin cp ■ sin y , 



z = a • cp • cotg y -\- r cosin y , 



ds- = \^— dcp + dr) 4- r- sin 2 y dar 

 \%\a.y J 



= l(A + Br) d<p + dr] [{A — Br) dcp + dr] , 



also 



wenn 



A = — — , B = i sin y 



sm y 



