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§ 12. Die Biegungsflächen der Minimalflächen. 



Für die (durch die Bedingung B t + B 2 = charakterisierten) Minimalfiächen findet 

 man aus (27): W a ß = 0. Nach (15) und (15a) ist jetzt X eine Funktion von et allein, 

 fi eine Funktion von ß allein; man kann also setzen: 



(94) W=A + B, 2 = 2 a, (x = 2 ß , 



wo A und B bezw. Funktionen allein von a und allein von ß bezeichnen. Die Formeln (17) 

 geben dann : 



x = i \ cosin 2 a ■ A' da — cosin 2ß ■ B' dß , 



(95) J L J 



y = i (Tsin 2a ■ A' da — sin 2ß ■ B' ■ dß\, s = A + B. 



Man leitet hieraus leicht die bekannten Ennep er' sehen Formeln ab, die auch 

 Weierstrass aufgestellt bat. 



Die Differentialgleichung (82) wird hier: 



.. dB T> . d B' j, dB SB' 



A' — - + B' = oder: -^= = - A 



dß ^ da dB dA 



also: 



rqfn JJ _ dP(a,ß) 1 p Rl __ 3P(aß) 1 



wenn P(a,ß) eine willkürliche Funktion von a, ß bezeichnet, also nach (81): 



• <r-x, 1 /,* 1T/-N cosin (et — ß) 



cosin 3B' = cosm ■- ($ — W) = — ' _ , 



2 K^p^7 



sodann aus (79), da ^ = 0, /^ a = ist: 



«J s /* KP^Pb + cosin 2 (a— /?) 



«H 3" -J VP* P» + cosin 2 fa-ßl 



(97) 



VPaP b + cosin 2 (a-ß) 



CdlgP B _ 

 J da VPa 



w = |'3lg-Pfl cosin (a—ß) = da 



iPb -+- cosin 2 (a — /?) 



*J[2tg(a ß) a Ji/pp, - 2f a _«'^' 



>0 J VP a P b + cosin »(a-fl 



Die Koordinaten der Punkte der allgemeinsten Biegungsfläche der Minimalfläche (95) 

 sind dodann nach (83): 



