37 



x, = — • cosin • da - • cosin W ■ dß\ , 



J Ida dß r J 



(98) y t = ^— ■ sin ■ da — d — sin ¥ • d/}] , 



«■-«JE! *■ + !?"]■ 



wo Ö> und !F durch (97) definiert sind; dabei bedeutet P eine rein imaginäre Funktion 

 von a und /?. Wählt man insbesondere, wenn c eine Konstante bezeichnet, 



P = e fc .4 — e~ ic B, also Pj = e ic , P^ = — e~ ic , 



so ergeben sich die Bonn et' sehen Biegungsflächen der Minimalfläche (95), die selbst 

 wieder Minimalflächen sind, in der bekannten Form: 



x x = i J* [e ic ■ cosin 2a • A' da — e~ ic cosin 2ß-B' dß], 

 Vi = i$[e ic sin 2a- A' da — e~ ic sin 2/3 . B' dß] , 

 0l = j" [ e * A' da + e- ic B' dß] , 



indem hier und W aus den in (97) an dritter Stelle angegebenen Integralen zu be- 

 rechnen sind. 



Wählt man z. B. W = — ia (a — ß), wo a eine Konstante bedeutet, so geben 

 die Gleichungen (95): 



x = a P [cosin 2a da + cosin 2ß dß] = — a ■ cosin (a -f- ß) cosin (a — /S) , 

 1/ = a f [sin 2a da + sin 2 ß dß] = a sin (a-\-ß) cosin (a — /?) , 

 z = — ia (a — ß) . 



Es ist dies eine Rotationsfläche, bei der in den Formeln (38 b) F 1 (a — ß) = a cosin (a — ß) 

 gesetzt ist, wenn man noch x mit — x vertauscht, und folglich 0' = — -ia; die Gleichung 

 der Meridiankurven ist 



x 2 -f- y 2 = a 2 cosin 2 (a — /?) 



£ Z 



also: r = (e a + e") : 



LI 



die Rotationsfläche der Kettenlinie. Die allgemeinsten Biegungsflächen des 

 Katenoids sind daher durch die Gleichungen (98) dargestellt, wenn man in (97) 

 A durch — iaa, B durch ia ß ersetzt. 



Die Biegungsflächen des Katenoids sind bekanntlich die Evolutenflächen der Flächen 

 konstanter mittlerer Krümmung und der Flächen von negativem konstantem Krümmungs- 

 mafae (vgl. § 13). 



