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[§ 13. Die Biegungsflächen der Kugel. 



Hier ist nach (52), X=^ — 2ß, ^ = ^ — 2a, W=itg(a—ß). Die Diffe- 

 rentialgleichung (82) wird: 



d -4 — — — 2 (R + R') tg (a—ß) = , 



dß da K ' ' 6 *■ ;/ 



also wenn R = G(a, /?) beliebig gegeben ist : 



^' + 2 22'.tg(a-/?) = G ß -2G-tg(a-ß), 

 c a 



woraus jR' durch Quadratur bestimmt wird. Um symmetrisch zu verfahren, und um so- 

 gleich R' zu R konjugiert zu finden, geht man von (82b) aus; man hat 



R= U+iV, R' = U—iV 



zu setzen; dann ergibt sich: 



Hieraus bestimmt sich U, wenn V behebig gegeben ist, oder umgekehrt. Nimmt man 

 z. B. V '= 0, so kann U gleich einer Funktion f (a — ß) von dem einen Argumente a — ß 

 werden; und f bestimmt sich durch die Bedingung: 



f («-/?) + /• tg(a-/?) = 0, 



also f= G cosin (et — ß), wo C eine Konstante bezeichnet. Wählt man U = 0, so bleibt 

 nur die Bedingung V a + Vß = , d. h. V kann eine beliebige Funktion f (a — ß) werden. 

 Die schon in § 6 behandelten Rotationsflächen konstanter Krümmung erhalten wir 

 nach der allgemeinen Methode des § 9 in folgender Weise: Die Kugel mit Radius 1 sei 

 durch die Gleichungen (51), d. h. 



cosin (et + ß) sin (et + ß) ... „ 



# = ■ ) oi i V = — . , i , z = its(a — ß) 



cosin (a — ß)' J cosin (a — ß)' oV IJ 



dargestellt, so daß: l = — — 2/5, ju = — — 2a, a>' = — (/>. — ,a) = a — /?. Bedeutet a 



a a Li 



eine Konstante, und setzt man 



a + ß » 



«< = , t> = a — ß , 



a 



so war nach § 6 die zugehörige Rotationsfläche: 



dv 



cosin u 



x. = a ; , 



cosin v 



sin u 



Vi = a : 



cosin v 



und es soll sein: 





\ = i Va? + (1 — a 2 ) cosin 2 v — — =- 

 1 J cosin 2 v 



