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dx, cosin u ■ sin v — a • sm u ■ cosm v ._ . _ dz -. . _ 



— 5 = : — 5 — = R cosm 8> • — = R cosm 5> • 



3a cosm- v da 



du, a • cosin m • cosin v 4- sin u ■ sin « „ . _ 3 z _ . , 



-zl = ^H = i? sin • — = U sin # • - 



3a cosm- v da cos 



^l = — ^-5- V a 2 + (1—a 2 ) sin 2 v = iR~ = — E — ;L_. 

 3a cosin- v da cosin J ü 



Aus den ersten beiden Gleichungen folgt: 



(94) tg = g + tgM ' t ^ , - E 2 = a 2 + (1 -a 2 ) cosin 2 « , 



° tgü — atgw 



und letzterer Wert stimmt mit der dritten Gleichung überein, so daß 



R = — &Va 2 -}-(l — a 2 ) cosin 2 v, R' = iYa 2 -\-(l— a?) cosin 2 w, r 2 = a 2 -f-(l — a 2 ) cosin 2 v. 

 Es ist jetzt 3B' =| (& — W) aus der Gleichung (82), d. h. 



Y a 2 -\- (1 — a 2 ) cosin 2 v • cosin 20' = cosin (a — /S) = cosin v 



zu berechnen, und es ergibt sich 



1 

 eotg 20' = - - cotg v . 

 ° a 



Ferner findet man aus der ersten Gleichung (94) durch Differentiation: 



_ a 2 — 1 cosin 2 v 



a a 2 -\- (1 — a 2 )sin 2 «' 

 Nach den allgemeinen Formeln (79) soll man haben, (da X a = 0): 



a 



und beide Resultate stimmen in der Tat vollkommen überein. 



Die Bestimmung aller Flächen konstanter Krümmung führt man bekanntlich sonst 

 auf die Differentialgleichung 



/-Ol \ o uj a uj 



(94 a) -^ - - -— ^ = sin m 



3 2 co 3 2 co 

 ~du 2 + Jv 2 



zurück, wo m, v die Parameter der Krümmungslinien bedeuten. Um die Koordinaten der 

 Flächenpunkte zu finden, hat man dann noch ein System von gewöhnlichen Differential- 

 gleichungen zu integrieren. Es hängen dann JE und G einfach von co ab und es ist 

 F = 0. Jenes System liefert zunächst die Richtungscosinus der Normalen und aus ihnen 

 findet man x, y, z durch Quadraturen. Die Integration der Gleichung (94 a) hätte nun 

 so zu erfolgen, daß man zuerst die Differentialgleichung der Krümmungskurven auf der 

 Fläche (83) löst und dann E, G- durch u, v ausdrückt. 



Auf die Gleichung (94a) führt man nach Enneper 1 ) auch die Bestimmung derjenigen 

 Flächen zurück, die sich so biegen lassen, daß Krümmungslinien in Krümmungslinien übergehen. 



l ) Math. Annalen, Bd. 2, 1870; vgl. auch Bonnet, Journal de l'Ecole polyteohnique, oah. 42 und 

 Adam, Bulletin de la Societe mathematique, t. 23, S. 195. 



