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14. Unendlich kleine Verlegungen. 



Die in § 9 gegebene allgemeine Lösung des Problems der Biegung gibt aucb von 

 selbst die Lösung des Problems der unendlich kleinen Biegungen einer Fläche. Zu dem 

 Zwecke baben wir zu setzen: 



$ = X + eA, W=n + sfA, R = i-\-eQ, R' = — i + e Q' , 



und erhalten dann an Stelle der obigen mit gleichen Nummern bezeichneten Gleichungen: 



(76*) A-IA = i(Q'-Q) cotg ^=£, 



M a • tg a>' + ^—^ /*". , = iQ«, 



° 2 cosm- co 



(79*) A^ • tg co' + ^=-- /* , = i Qß , 



K ' r o 2 cosm- CO ' 



. , , A — fA h, . n 



A a • tg co' H =- — — j = —iQ a , 



° 2 cosin - co 



. , . A — A Iß . n 



Aß ■ tg CO' ^ ^ r-^5 j = —iQß, 



° 2 cosm- co 



(82*) W a ^ + F> £ + W<* «} + Q') = 0. 



Die Funktionen Q und #' sind also an dieselbe Bedingung gebunden, wie oben 

 die Funktionen R und R'. Aus ihnen findet man A — A und dann aus (79*) durch 

 Quadraturen die Funktionen A und A. So ergibt sich 



| = jl(Q cosin X— i A ■ sin X) W a da + (Q 1 cosin /j, -f i A sin ,u) T^d/S] , 

 (95) jj = j*[(# sin X -\-i A ■ cosin X) W a da + (Q' sin /x — i A cosin ,«) W> d/?] , 

 f =ij , [(QTr a da-e , W>^]. 



Sind ^ und 2 die Parameter der Haupttangentenkurven, so wird das Problem sonst 

 zurückgeführt auf eine Differentialgleichung der Form 1 ): 



(96) £$- = k-e, 



wo Je eine bekannte Funktion von p, q bedeutet, welche sich aus der Gleichung 



*1E = Q + ftYK 



bestimmt, wenn f die betr. Fundamentalgröße des sphärischen Bildes der gegebenen Fläche 

 bezeichnet und K durch die Relation 



dxdxdydyde3z = _ 



9p 3g """ 3p 3t/ ~* 3^ 3c/ " ' 



bestimmt wird. Auch die allgemeine Lösung der Gleichung (96) ist durch die vorstehenden 

 Entwicklungen auf Quadraturen zurückgeführt, sobald die Differentialgleichung der Minimal- 

 kurven integriert ist. 



*) Vgl. Darboux, Theorie generale des surfaces, tom. IV, S. 19 ff., sowie eine Abhandlung des Ver- 

 fassers, die am 2. Juli der bayer. Akademie mitgeteilt wurde und in den Sitzungsberichten erscheinen wird. 



