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§ 15. Die Weingarten'schen Flächen. 



Als "Wein garten' sehe Flächen bezeichne ich diejenigen, zwischen deren Krümmungs- 

 radien q, g' eine Relation besteht. Stellt man diese mit Weingarten in der Form 



Q = (fc) , 6 > = (Je) —h.® (h) 



dar, so wird bekanntlich das Quadrat des Linienelementes der einen Schale der Krümmungs- 

 zentra- Fläche in der Form 



dsl = 6'Qcydk 2 + Wd(p 2 



erhalten, und diese Form entspricht nach (38 a) der Rotationsfläche 



(97) x = r cosin cp , y — rsm<p , s = f(r) , 



wenn Jc = r, 1 + f (rf = & (k)* 



gemacht wird. Alle zugehörigen Evolutenflächen sind so auf eine durch die Funktion 

 0(£) oder f(r) bestimmte Rotationsfläche abwickelbar. Umgekehrt werden alle Wein- 

 garten'schen Flächen aus den Biegungsflächen der Rotationsflächen als Evolventenflächen 

 in bekannter Weise erhalten. 



Sind u und v die Parameter der Krümmungslinien einer Weingarten'schen Fläche, 

 so muß die partielle Gleichung zweiter Ordnung 



du \6' 2 du) ^ dv \¥ dv) h& 



integriert werden, um Je als Funktion von u und v zu bestimmen; und dann ergeben sich 

 die Koordinaten der Punkte der Weingarten'schen Fläche durch Quadraturen. 



Da man nach § 9 alle Biegungsflächen der Fläche (97) kennt, so ist aueb die Inte- 

 gration der Gleichung (98) auf Quadraturen zurückgeführt, sobald man noch u, v durch 

 a, ß ausgedrückt hat. Die geodätische Linie <p = Const. der benutzten Biegungsfläche 

 gibt dabei direkt eine Krümmungslinie der abgeleiteten Evolventenfläche; die andere 

 Krümmungslinie wird durch die andere Schale der Evolutenfläche geliefert. 



Für Rotationsflächen ist in (82 b) nach § 5 die Funktion W durch die Funktion 

 <5(a — ß) zu ersetzen, die wir hier (um eine Verwechslung mit der in § 9 gebrauchten 

 Funktion ^ zu vermeiden) % (a — ß) nennen wollen. So erhalten wir aus (82 b) 



y j (a-ß)[U ß -U a -i (V ß + V a )-] - 2 U X " (a-ß) = 0, 



oder, wenn wir die neuen Variabein 



u = a -j- ß , iv = a — ß 



einführen : 



dV du 



also, wenn U willkürlich gegeben wird 



S U , 3 V . _. x," 



'-/('*$ -%'"• 



Abh. d. math.-phys. El. XXIX, 3. Abb. 



