41 



gut beobachtet sind, um den angegebenen Wert als Mittelpunkt herum, wenn nur die- 

 jenigen Werte darunter verzeichnet worden sind, die tatsächlich, wie oben angegeben, dem 

 betreffenden Stufenwert näher liegen als den beiden benachbarten. Es ist das meiner 

 Meinung nach der gewöhnliche Entstehungsmodus solcher primärer Reihen. Eine Störung 

 in diesem Verhalten kann nur für die Werte eintreten, die genau in der Mitte zwischen 

 zwei Größenstufen liegen und hiemit mit dem gleichen Recht den beiden benachbarten 

 Stufen zugerechnet werden können. Die Wahrscheinlichkeit aber, daß ein solcher genau 

 die Mitte zwischen zwei Stufen einhaltender Wert gemessen wird, ist sehr klein; noch 

 kleiner die Wahrscheinlichkeit, daß man ihn dann nur mit dem Augenmaße als solchen 

 erkennt. So weit meine Erfahrung im Messen reicht, kann man so gut wie ausnahmslos 

 entscheiden — oder glaubt wenigstens entscheiden zu können — , welcher der beiden Stufen 

 der gemessene Wert näher liegt. Kommt also ein tatsächlich genau in der Mitte zwischen 

 zwei Stufen gelegener Wert vor, so wird man ihn so gut wie immer der einen oder der 

 anderen der beiden Stufen zuordnen. In diesem Falle enthält z. B. eine Millimeterstufe 

 die vier Zehntehnillimeter darunter und darüber ganz und von den in der Mitte zwischen 

 zwei Stufen gelegenen Zehntelmillimetern ungefähr je die Hälfte der in ihnen gelegenen 

 Fälle. Als Mittelpunkt muß dann genau der Stufenwert betrachtet werden, den die Tabelle 

 enthält. Anders ist es, wenn die Aufrundung in der für Dezimalbrüche üblichen Weise aus ge- 

 schätzten und bei der Messung verzeichneten Zehnteln der Maßeinheit vorgenommen wurde. 

 Dann enthält ein Intervall, sagen wir von 180 mm, die Zehntelstufen 179,5 -180,4 und der 

 Mittelpunkt des Intervalles wird dann 179,95 und nicht 180,0 wie in dem ersten Falle. Diese 

 Betrachtungen scheinen sehr minutiös und daher überflüssig, können aber bei manchen Ge- 

 legenheiten, wie z. B. bei der von TL Yule angegebenen Art der Berechnung der Mittelwerte 

 (vgl. K. E. Ranke, Die Theorie der Korrelation etc.), oft praktisch recht wichtig werden. 1 ) 

 Diesen Stufenmittelpunkten kann man nun die beobachteten Häufigkeiten als zuge- 

 ordnet betrachten. In strengem Sinne gehören sie aber nur der ganzen Ausdehnung der 



Tabelle II. 



Kopflänge der männlichen Schingu-Indianer. 

 Reduzierte Tabelle (i = 3). 



Intervall 



Anzahl 



Intervall 



Anzahl 



169,5— 17:2,5 



172,5-175.5 

 175,5—178,5 

 178.5—181,5 

 181,5-184,5 



1 



3 



5 



13 



27 



184,5—187,5 

 187,5 — 190,5 

 190,5-193,5 

 193,5-196,5 

 196,5-199,5 



27 

 15 



7 

 4 



1 



') Bei der gewöhnlichen Art der Berechnung des Mittelwertes werden die Häufigkeiten direkt den 



beobachteten Werten zugeordnet, diese also, wie oben auseinandergesetzt, als Mittelpunkte der pri- 

 mären Intervalle angesehen. 



Abh. d. II. Kl. d. K. Ak. d. Wiss. XXIV. Bd. I. Abt. 6 



