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weicht von diesem wieder mehr oder weniger ab, der Mittelwert ist also auch mit 

 zufälligen Fehlern behaftet. 



Die gleiche Überlegung zeigt, daß auch das empirische Streuungsmaß einer solchen 

 herausgegriffenen Reihe zufällige Abweichungen aufweisen muß. 



Die Erkenntnis gerade dieser Tatsachen ist es gewesen, die den Mittel- 

 wert diskreditiert hat. Die theoretische Statistik setzt uns aber in den Stand 

 gerade diese zufälligen Abweichungen voll zu berücksichtigen. Sie tut das 

 durch die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers. Es ist das eine Größe, von der es 

 ebenso wahrscheinlich ist, daß eine einzelne zufällige Abweichung größer oder kleiner als 

 dieselbe sein wird, von der es also ebenso wahrscheinlich ist, daß eine der zufälligen 

 Einzelabweichungen sie übertreffe, als daß sie unter ihr zurückbleibe. Hat man also eine 

 größere Reihe von Einzelabweichungen vor sich, so muß die eine Hälfte derselben größer, 

 die andere Hälfte kleiner als die wahrscheinliche Abweichung sein. Für die Anthropologie 

 sind drei solcher wahrscheinlicher Abweichungen von Wichtigkeit. Erstens die wahr- 

 scheinliche Abweichung der Einzelbeobachtung vom Mittelwert, eines der drei 

 oben angegebenen Streuungsmaße, also ein Maß der Variationsbreite, für das wir das seit 

 Stieda geläufige Symbol r benützen wollen. Dieselbe berechnet sich aus den beobachteten 

 Abweichungen der Einzelmaße vom Mittelwert als 



0.6745 1/ t=^™ ' = 0,6745 u oder 0,8453 -=±± = ; = 0,8453 0. 

 V (»— 1) y»(n — 1) 



Zweitens der wahrscheinliche Fehler des Mittelwertes. Derselbe berechnet sich 



als B. = - = . Haben wir ihn berechnet, so können wir aussagen, daß bei einem beliebig 



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 oft wiederholten Herausgreifen weiterer Reihen die Hälfte der so erhaltenen neuen 

 Mittelwerte voraussichtlich innerhalb der Grenzen M — i? und M + R liegen 

 wird, während die andere Hälfte dieser neu gewonnenen Mittelwerte noch 

 stärkere Abweichungen aufweisen wird. 3 ) 



Drittens der wahrscheinliche Fehler des Streuungsmaßes. Ist die wahr- 





scheinliche Abweichung des Einzelwertes als 0,6745 1/ - — — - r berechnet, so ergibt sich 



daraus ihr wahrscheinlicher Fehler als , ist sie aber als 0,8453 —== — ■ — berechnet, 



Y2n Vn (n — 1) 



so wird ihr wahrscheinlicher Fehler gleich r ■ 1/ n , . —. (Czuber, Theorie der Beob- 



V 2 (n) 



achtungsfehler.) 



Für sämtliche Reihen meines Materiales habe ich den Mittelwert und die wahr- 

 scheinliche Abweichung des Einzelmaßes vom Mittelwert als Streuungsmaß, also als Maß 

 der Variationsbreite, berechnet und beiden ihre wahrscheinlichen Fehler beigefügt. 



') Czuber, loco cit., p. 239 (ä = die beobachteten Abweichungen der Einzelmaße vom Mittelwerte 

 n = Anzahl der Beobachtungen). 

 - Czuber, loco cit., p. 239. 

 3 ) M als Symbol für den ersten Mittelwert gebraucht. 



