Das vorige Jahrhundert hat durch die berühmten Werke einer Reihe genialer Mathe- 

 matiker, wie Steiner, Chasles, Pflücker, von Staudt, Schrötter, Reye und anderer, 

 eine wunderschöne mathematische Disziplin geschaffen, welche von verschiedenen Gesichts- 

 punkten aus bearbeitet und sogar mit verschiedenen Namen belegt wurde, wie z. B. 

 Geometrie der Lage, projektive Geometrie, Lehre von den Büscheln überhaupt und har- 

 monischen Büscheln im besonderen, noch abstrakter: Strahlenlehre. Man pflegt besonders 

 diese Disziplin durch den Namen Neuere oder Höhere Geometrie zu bezeichnen. 



Als charakteristisches Merkmal für diese Disziplin kann das Studium der unendlichen 

 Gesamtheiten bedingter geometrischer Gebilde gelten im Gegensatz zu früherer Geometrie, 

 welche sich fast ausschließlich mit vereinzelten Gebilden betätigte. 



Die Sätze dieser neuen Lehre erhalten dadurch einen sehr abstrakten Charakter und 

 viel weiter greifende Bedeutung. Von solchen Sätzen, wie Chasles' Dualismussatz, kann 

 man mit Recht sagen, daß derselbe uns eine unbestimmt große Reihe neuer Sätze kund 

 macht: bei jedem wesentlichen Schritte bestimmter Art wird derselbe auch in künftiger 

 Zeit die Anzahl der Sätze verdoppeln. 



Da aber aus ganz natürlichen Gründen die reinen Mathematiker stets zu höchster 

 Allgemeinheit bestrebt waren, so erwies sich, daß die beschränkteren Verzweigungen dieser 

 Disziplin, welchen aber, wegen zahlreichen Anwendungen, besonders auf Kristallographie, 

 spezielle Bedeutung zukommt, geringeres Interesse in dem Geiste dieser genialen Männer 

 erregten; aber nur geringeres, da auch zahlreiche Anwendungen von denselben nicht über- 

 sehen wurden. Durch die Werke und vereinzelte Sätze von Gauß, Möbius und den oben 

 erwähnten Autoren erhielt auch die Kristallographie manchen wichtigen Beitrag. 



Als solche beschränktere Disziplin der Neueren Geometrie kann auch die Lehre von 

 den rationalen Strahlensystemen, kürzer Syngonielehre, abgesondert werden. Der Grund- 

 stein für diese abgesonderte Teildisziplin wurde von Möbius' Baryzentrischem Kalkül, 

 Hesseis Kristallonomie (Elementen der Gestaltenlehre) und J. Graßmans Werkchen „Zur 

 physischen Kristallonomie" gelegt. In diesen grundlegenden Werken sind jedoch manche 

 Fragen ersten Ranges unberührt geblieben, sogar das zu Grunde dieser Lehre liegende 

 Syngonieellipsoidgesetz nicht erwähnt. Aber die Kenntnis dieser Werke orientiert einen 

 Kristallographen in den Fragen dieser Lehre gut und regt zu weiteren Schritten an und 

 bereitet dieselben vor. 



Jedenfalls war es den neuesten Kristallographen vorbehalten, diese spezielle Disziplin 

 als eine der zu Grunde stehenden Hilfslehren zur Kristallographie weiter zu entwickeln. 

 Und die vorliegende Arbeit bietet einen Versuch dar, nicht nur die schon errungenen 



