Das Objekt dieses Begriffes ist aber von mehr abstrakter Natur als die Kristallform. Der 

 Komplex bleibt identisch, indem zugleich die Symmetriearten der betreffenden Kristall- 

 gestalten sich sehr verschieden erweisen. Insofern bei Veränderung der Symmetriearten 

 der Komplex keine Veränderung erleidet, bleibt seine Syngonie dieselbe. Somit bürgt die 

 Einteilung nach Syngonien in sich eine Gruppe verschiedener Symmetriearten. 



Die Begriffe der Syngonie und des kristallographischen Komplexes scheinen unter- 

 einander so eng verbunden, daß man hätte sagen wollen, daß Syngonielehre eigentlich die 

 Lehre von den Komplexen ist. Dies würde aber nicht ganz genau sein, da, wie wir es 

 ersehen werden, es Komplexe gibt, welche durch keine bestimmte komplexiale Symmetrie 

 ausgezeichnet sind, also keiner bestimmten Syngonieart zugerechnet werden können. 



Wie die Figuren in der Ebene einen partikulären Fall der Figuren im Räume dar- 

 stellen, so kann man auch als einen partikulären Komplex einen solchen betrachten, welcher 

 in der Ebene liegt und eigentlich einen Strahlenbüschel bildet. Ein solcher Komplex wird 

 eine Zone genannt, und kann ebenfalls nach Syngoniearten unterschieden werden. 



Deshalb besteht der erste Schritt in der mathematischen Syngonielehre in der Ab- 

 grenzung der Syngoniearten der Zonen, welche in dieser Beziehung in der Arbeit über 

 orthogonale und isotrope Zone studiert wurden. 1 ) 



Im Grunde steht der Ausdruck der Rationalität der Doppelverhältnisse, und zwar 



sin (r r'') sin (r r'") 

 sm(rV') : sin(VV") = ' ^ 



wo r, r', r", r'" vier Strahlen des ebenen Komplexes sind (welche zugleich als vier Kanten 

 einer möglichen Kristallfläche und vier Normale eines Flächenbüschels betrachtet werden 

 können) und Je ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. 



Aus dieser Relation geht direkt hervor, daß ein ebener Komplex durch drei Strahlen, 

 folglich zwei Winkel resp. zwei Konstante bestimmt wird. In der Tat schreibt man 

 der Zahl Je alle möglichen rationalen Bedeutungen zu, so erhält man für r'" alle möglichen 

 Lagen im Komplexe, d. b. die vollständigen Büschel. 



In dem allgemeinen Fall gibt es keine Symmetrieelemente in diesem Komplex (abge- 

 sehen vom Inversionszentrum, welches notwendigerweise da ist,) 2 ) welche zwei verschiedene 

 Strahlen zur Deckung bringen können. 



In diesem Falle sind also sämtliche Strahlen singulare Richtungen. Dadurch wird 

 die monokline Syngonie dieser schiefen Zonen bestimmt. 3 ) 



Dabei wird vorausgesetzt, daß rechte Winkel vollständig abwesend sind, weil bei der 

 Annahme ihrer Anwesenheit die Eigenschaften des Komplexes wesentlich andere werden. 



Nehmen wir z. B. für einen rechten den Winkel r r'. Nun nimmt die Formel 1) 

 die Form eines einfachen Verhältnisses: 



tang (r r") : tang (r r'") = Je 2) 



und dann kommt komplexiale Symmetrie zum Vorschein. 



') Verhandlungen der K. Mineralog. Ges. zu St. Petersburg 25. 53. 



*) Da aber die Ebene des Büschels als eine Symmetrieebene desselben betrachtet werden kann, 

 so folgt, daß auch die zweizählige, zur Büschelebene senkrechte Achse als stets vorhandene anerkannt 

 werden muß. 



3 ) Reguläre Plan- und Raumteilung. Abhandl., d. K. Bayer. Akad. d. Wiss. II. Kl. 20, II. Abt., 1900. 



