In der Tat, unter Annahme k = — 1, erhält man: 



tang (r r") : = — tang (r r'") oder r r" = — r r'". 



In diesem Fall ist also jedem beliebigen Strahl r" ein anderer r'" zugeordnet, welcher 

 in anderer Richtung mit r denselben Winkel bildet wie r". Somit kann den Strahl r als 

 die Trace einer Symmetrieebene 1 ) des Komplexes betrachtet werden; dasselbe gilt für den 

 zu ihm senkrechten Strahl r'. 



Alle Strahlen sind also paarweise einander als symmetrisch gleiche zugeordnet. 

 Allein die besonderen Strahlen r und r' verbleiben als die singularen, das heißt sind keinen 

 anderen Strahlen des Komplexes symmetrisch gleich, da allein für diese Strahlen die 

 Winkel r r" und r r'" gleich Null sind. 



In diesem Fall gibt es also zwei zueinander senkrechte singulare Rich- 

 tungen. Diese Syngonieart ist als eine rhombische bezeichnet worden, und die Zonen 

 selbst als die orthogonalen. 2 ) Die Anzahl der Konstanten reduziert sich zu einer ein- 

 zigen, z.B. dem Winkel rr". Die Entwicklung des Komplexes geschieht, indem der Zahl k 

 alle rationalen Bedeutungen beigelegt werden. 



In der Aufstellung der Formel 2) wurde das Vorhandensein wenigstens eines rechten 

 Winkels vorausgesetzt; in der Tat kann für diese Syngonieart allein ein solcher Winkel 

 zugelassen werden; unter Annahme eines zweiten wird leicht der Beweis geliefert, daß 

 dann sämtliche Strahlen paarweise untereinander senkrecht stehen, und die Eigenschaften 

 des Komplexes werden vom Grunde aus verschieden. 



In der Tat, unter Annahme des rechten Winkels r r' und zugleich etwa r" r"\ 

 erhält man : 



tang (r r") taug (r r'") = — 1 



und dann nach der Multiplikation von 2): 



tang 2 (r r") = — k = k'. 3) 



Diese Gleichheit zeigt schon, daß jetzt keine einzige Konstante da ist, sondern 

 sämtliche Winkel des Komplexes von vornherein durch die Bedingung der Rationalität 

 der Tangentenquadrate bestimmt werden; k muß dabei natürlich negativ angenommen 

 werden, da ein Quadrat nur positiv sein kann. Dem Werte Je' = oo entspricht jedesmal 

 der rechte Winkel r r", unabhängig davon, welcher Strahl als Ausgangsstrahl ange- 

 nommen wird. 



Solche Zonen wurden als isotrope bezeichnet. 



Als Folge davon, daß jedem Strahl ein ihm senkrechter Strahl zugeordnet ist, kann 

 man sagen, daß jeder Strahl zugleich die Trace einer Symmetrieebene ist: also sämtliche 

 Flächen einer isotropen Zone sind Symmetrieebenen. Auf dem Satze fußend, nach 

 welchem zwei Symmetrieebenen unter dem Winkel a sich in Symmetrieachsen schneiden, 



l J Eesp. als zweizählige Symmetrieachse,, was für die ebenen Figuren ganz gleichbedeutend ist. 



2 ) Für die ebenen Systeme gilt diese Bezeichnung mit wörtlicher Genauigkeit, da diese Symmetrie- 

 art wirklich die Symmetrieart eines Rhombus ist. In der Tat aber ist die Bezeichnung den Raumfiguren 

 entnommen, wo solche Bezeichnungen wie „ Symmetrie des Rhombus", „Symmetrie des Quadrates" 

 befremdend klingen. 



