das heilst: die Verhältnisse der Strecken auf der dem Strahle r parallellen Schnittgerade 

 werden rational. 



v 

 Die rationale Zahl ist also der Bruch — , wo |), und p 2 ganze Zahlen sind. In der 



Form dieses Bruches können 'war auch ganze Zahlen schreiben, wie 1 = 1:1, 2 = 2 : 1 u. s. f. 



Jede solche Zahl bezieht sich auf einen ganz bestimmten Strahl, wenn wir nur wissen, 

 welche Strecke dem Verhältnis 1 : 1 entspricht. 



Zur vollständigen Charakteristik des Komplexes ist (außer dem Winkel zwischen den 

 Strahlen r und r') noch die Strecke r' auf dem Strahle r' nötig, welche ebenfalls als 

 eine Einheit in dieser Richtung angenommen werden kann. 



Da das Verhältnis _ " für jeden gegebenen Strahl r'" konstant bleibt, so ist das- 

 selbe die echte Charakteristik des Strahles selbst. Ist r' r» = p^p.2, so erhalten wir bei 

 angezeigter Annahme „ " = ' ä = — , wo p x und p 2 ganze Zahlen sind, positive oder 



negative. 



Daraus ersehen wir, daß derselbe Strahl durch zwei ganze Zahlen charakterisiert 

 werden kann, und diese Zahlen sind Strecken auf den Strahlen r und r\ welche in bedingten 

 Einheiten ausgedrückt sind. Das ist das einfachste Verfahren der Reproduktion des voll- 

 ständigen Komplexes durch alle möglichen Kombinationen zweier ganzen Zahlen. Dabei 

 aber dürfen behufs vollständiger Eindeutigkeit diese Zahlen keine gemeinschaftlichen 

 Faktoren besitzen, und nun erhält das Symbol (p 1 p 2 ) die Bezeichnung des Symboles des 

 gegebenen Strahles und die Zahlen selbst die seiner Indizes. 



Auf Grund dieser einfachen Relationen ist es sehr leicht, den Komplex einer natür- 

 lichen Entwicklung nach Perioden zu unterziehen (Fig. 2). 



I« 



11 _ 1Z_ 01 



32 S\ z ?\ » \A 



In der Tat dienen als Grundstrahlen die Strahlen r = (10) und r' = (01); zugleich 

 sind für dieselben die Einheitsstrecken OA resp. AB gegeben; dem Strahl OB würde 

 dann das Symbol (11) eigen sein; dem Strahl OB', für welchen AB' = AB, gehört das 

 Symbol (11) (und diese vier Strahlen bilden bekannterweise das harmonische Büschel). 



Nun bemerken wir, daß das Symbol (11) aus den Symbolen (10) und (01) durch 

 Summierung der respektiven Indizes entsteht (1 + 0; + 1); dasselbe hat in Bezug auf (11) 

 statt: (11) = (01) + (10) = (0 + 1; 1 + 0). 



Diese vier Strahlen bilden die I. Periode in der Entwicklung des Komplexes. 



Xach den nunmehr erkannten Verhältnissen sind wir jetzt in der Lage, die folgenden 

 Strahlen mit den einfachsten Indizes zu bestimmen; diejenigen der IL Periode lassen sich 

 durch einfaches Summieren aus denen der ersten Periode erhalten. 



Abh. d. II. Kl. d. K. Ak. d. Wiss. XXIII. Bd. I. Abt. 2 



