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Eine Entwicklung in vier Perioden ist in der Figur 2 reproduziert. Dieselbe ist in 



anschaulicher Weise auch aus beigegebener Tabelle ersichtlich: 



I 



10 







11 











1 





1 



1 





.10 



II 





21 









12 







12 







21 





III 



31 





32 





23 





13 



13 





23 



32 





31 



IV 41 52 53 43 34 35 25 14 14 25 35 34 43 53 52 41 



Nun ist es klar, daß in dieser Weise leicht so viele Perioden reproduziert werden, 

 wie man will, und alle dadurch bedingten Strahlen sind die Komplexstrahlen, welche in 

 der Formel 1) ihren Ausdruck finden. Natürlich nimmt die Zahl der Strahlen jeder fol- 

 genden Periode nach bestimmtem Gesetze zu, und zwar nach dem Gesetze der geometrischen 

 Progression mit dem Verhältnis 2, da jedesmal bei dem Übergang zur folgenden Periode ein 

 Strahl durch zwei ersetzt wird; wir müssen dabei nur von den Ausgangsstrahlen absehen. 



Nun ist leicht zu zeigen, daß man auf die Höhe der Periode aus dem Symbole 

 selbst schließen kann. Dazu gehört folgende Regel: ist (p, p 2 ), wo ]!, >y, ein Strahl 

 Jc tea Periode, so muß (p, — p 2 , p 2 ) einen Strahl der (k — l) ten Periode, und im Gegen- 

 teil (p 1 + p v p 2 ) denjenigen der (Je + l) ten Periode ausdrücken. 



Die Höhenzahl der Periode drückt die Anzahl der aufeinanderfolgenden Additionen aus, 

 welche nötig ist, um die Indizes (p l p. 2 ) aus denen der I. Periode abzuleiten. Natürlich 

 spielen dabei keine Rolle weder die Vorzeichen der Indizes noch etwaige Permutationen, 

 da solche von der Höhenzahl der Periode unabhängig sind. Infolgedessen ist es erlaubt, stets 

 nur positive Indizes und eine bestimmte Permutation, z. B. p t >p allein in Betracht zu ziehen. 



Überhaupt läßt sich jede ganze Zahl aus Einheiten durch sukzessive Addition erhalten, 

 und nur die Indizes der I. Periode sind 1 oder 0, das heißt höchstens 1. 



Eine bestimmte Sukzession dieser Operationen führt uns zuletzt zu bestimmten 

 Indizes; also alle solche lassen sich aus (10) und (11) zusammensetzen. 



Zum Beispiel (53), wie aus oben gegebener Tabelle ersichtlich ist, läßt sich folgender- 

 maßen zusammensetzen: 



(53) = (32) +(21); (32) = (21) + (11); (21) = (11) + (10). 



Zusammengenommen sind drei Operationen notwendig, welche in der Gleichheit 



(53) = 3 (11) +2(10) 



ihren endgültigen Ausdruck finden. 



Diese Gleichheit ist aber von vornherein klar und kann ohne sukzessiver Operations- 

 folge, sondern direkt, geschrieben werden. Zugleich aber ersetzt dieselbe eine ganz bestimmte 

 Aufeinanderfolge der Operationen und dient als deren Ausdruck, und diese Aufeinanderfolge 

 führt stets zu der Steigerung der Höhenzahl der Periode 3, das heißt, sie besitzt nicht 

 nur für die in dieser Gleichung enthaltenen Indizes, sondern eine allgemeine Gültigkeit. 

 Wenn also die Gleichheit 



(j) i p 2 )~3(q 1 q i ) + 2(r 1 r 2 ) 



besteht, wo (q 1 q 3 ) und (r, r ä ) die Indizes zweier solcher Strahlen sind, welche durch Sum- 

 mierung diejenigen einer höheren Periode bedingen, so muß die Höhenzahl der Periode 

 von (PiPt) um 3 größer sein, als die größte Höhenzahl der Indizes (q 1 q. 2 ) resp. (r, r 2 ). 



