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Der Anschaulichkeit wegen betrachten wir folgendes Beispiel: 

 III 32 21 I 11 



IT 53 II 



V 85 74 UI 32 



VI 11-7 13-8 12-7 95 IV 43 I 



21 



10 



31 

 52 41 



Diese Zahlenreihen weisen auf so vollständige Analogie hin, daß jeder bestimmten 

 Zahl einer Reihe eine der anderen eindeutig zugeordnet ist. 



Nun wissen wir aber, daß (53) = 3 (11) -f- 2 (10). Die bestehende Analogie läßt uns 

 mit Recht auch die Gleichheit 



(13 • 8) == 3 (32) + 2 (21) 



schreiben, was übrigens unmittelbar klar ist. 



Die Analogie besteht hier in der gleichen Aufeinanderfolge derselben Operationen, 

 weshalb auch die Anzahl derselben ebenfalls die gleiche sein muß. Gehört (53) der 

 IV. Periode zu, also führt die angegebene Operation zur Erhöhung der Periode von (11) 

 und (10) um 3, so muß auch das Symbol (13 • 8) auf einen Strahl sich beziehen, welcher 

 ebenso um 3 Perioden höher steht als die höchste der Perioden von (32) und (21); und 

 da (32) der III. Periode zugehört, so muß (13-8) der VI. Periode zugehören. 



Aber auch (11) läßt sich durch Summieren aus (10) und (01) zusammensetzen; also 

 ist bei dem Übergang aus den letzten Indizes zu den ersten eine eben solche Operation 

 nötig. Demgemäß kann man sagen, daß (53) sich aus (11) und (10) durch dieselbe Operation 

 zusammensetzen läßt, wie (32) und (10) und (01). Wenn wir also für kurze Zeit die Aus- 

 gangsstrahlen als der besonderen tcn Periode zugehörig betrachten wollen, so erhalten 

 wir die Analogie: 



I 11 10 



II 21 I 

 HI 32 31 II 

 IV 43 53 52 41 III 



10 



01 



11 



21 



31 



32 



12 

 23 13 



Xun aber sind die Indizes (32) in der Form (5 — 3, 3) darstellbar, da, wie gesagt, 

 die Permutationen in den Fragen über Periodenhöhe keine Rolle spielen. Wenn also (53) 

 einer um 1 höheren Periode zugehört als (32), so muß dasselbe einer um 1 niedrigeren 

 Periode zugehören als (5 + 3, 3) = (83), da (83) = 3 (11) + 5 (10). 



Auch (83), wie jedes andere Symbol, läßt sich durch sukzessives Summieren aus Sym- 

 bolen der niedrigeren Perioden ableiten. Wollen wir dasselbe aus denen der III. Periode 

 erhalten, so hätten wir als Ausgangsstrahlen diejenigen durch (31) und (21) ausgedrückten 

 anzunehmen, da 3 > f > 2. 



Und nun finden wir: 



III 31 21 



IV 52 



V 83 73 



und diese Tabelle dient als Bestätigung der Folgerung über die Periodenhöhe von (83). 



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