12 



Ebenso ist klar, daiä (83) durch dieselbe Operationsreihe aus (11) und (Ol) sich 

 ableiten läßt, wie (53) aus (Ol) und (10), also: 



I 10 11 10 01 



II 21 I 11 



III 31 II 21 



IV 52 III 32 

 V 83 IV 53 



Der eben bewiesene Satz gibt das Verfahren in die Hand, die Periodenhöhe jedes 

 gegebenen Symbols durch sukzessive Erniedrigungen um 1, bis das Symbol von schon 

 bekannter Höhe erhalten wird, zu bestimmen. 



Zum Beispiel, wir finden direkt, daß (87) der VHI. Periode zugehört, da (8 — 7, 7) 

 = (17) das Symbol der VII. Periode ist. 



Nun gehen wir zur detaillierten Studie der isotropen Komplexe über. 



Da in denselben sämtliche Strahlen sich in einander senkrechte 

 r T Paare zerlegen, so ist stets möglich, als Ausgangsstrahlen einen be- 



/ liebigen Strahl r und den ihm senkrechten Strahl r' (Fig. 3) aus- 



zuwählen. 



Bestimmen wir zuerst die Bedingungen, welche notwendig und 

 hinreichend sind, daß der Komplex ein isotroper ist. 



Fig, 3. Gemäß der Formel 3) gehört dazu die Kationalität des Tangenten- 



quadrates eines Winkels. 

 Es sei r" derjenige Strahl, welchem das Symbol (11) zukommt. Nun sind die Achsen- 



r' r" (>•' r") % 



einheiten Or und r' die Strecken r' r" und Or'; aber -pr— 7 = tang (r' r") resp. ~ rr . ,., 



Or (Or) 1 



= tang 2 (*■* r") = k = ,- , wo <t und b ganze Zahlen sind; also: 



(r' r") : (0 r') = Vä: VF. 4) 



Diese Gleichheit ist also die gesuchte Bedingung des Isotropismus. 

 Wird ein Strahl durch das Symbol (p 1 2l 2 ) ausgedrückt, so haben wir: 



^ = fi ^ = taug (r> O resp. tang> (r> r>") = \ f&V- \ W 5) 



Or' p 2 Vi b \P-2J b 



Auf Grund des Satzes, nach welchem ein isotroper Komplex eine Symmetrieachse 

 von unendlicher Zähligkeit besitzt, folgt, daß die Aufeinanderfolge der Winkel genau die- 

 selbe bleibt, welche Strahlen auch als Ausgangsstrahlen genommen würden und in welcher 

 der beiden Richtungen dieselben gemessen würden. 



Also kommt der Formel 5) allgemeine Bedeutung zu. 



Somit sind in einem isotropen Komplex die Winkel dadurch bedingt, 

 daß die Tangentenquadrate einer und derselben Zahl gleich sind, multi- 

 pliziert durch Quadrate einer beliebigen rationalen Zahl. 



Durch diese Bedingung wird die Anzahl der einem gegebenen isotropen Komplex 

 zugehörenden Strahlen in hohem Maße beschränkt. Jeder Winkel, dessen Tangenten- 



