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Bezeichnen wir die auf der Schnittgerade CD durch den zu OC senkrechten Strahl 

 OC bedingte Strecke durch x, so erhält man {p. 2 Vb) % — xp^Va, und daraus 



ÖC'* = (&."/&)• + x* = - {ap\ + bpft (-*)*= dq'\ 



et V j5| / 



Also C dq i q" i = ~ (ap\ + 6 j>J)» (-& ) \= a 6 *»j 9) 



das heißt: das Produkt der Parameter zweier beliebiger zueinander senkrechter 

 Strahlen ist stets gleich dem Parameter des Komplexes. 1 ) 



Xun wollen wir daraus verschiedene Folgerungen ziehen. 



Wir sehen, daß es gut möglich ist, eine unendliche Anzahl ebener isotroper Kom- 

 plexe zu erhalten, indem man zweien einander senkrechten, sonst beliebigen Strahlen die 

 Parameter a und b zuerteilt, wo a und b beliebige Zahlen sind, aber weder gemeinschaft- 

 liche noch quadratische Faktoren besitzen. 



Die Tangentenquadrate sämtlicher Strahlen winkel sind parametrisch gleiche Zahlen, 

 und dieser Parameter a b ist der des Gesamtkomplexes. 



Auch jedem Komplexstrahl kommt ein bestimmter Parameter zu. Welche Strahlen 

 auch als die Ausgangsstrahlen angenommen würden, stets ist das Produkt der Parameter 

 dieser Strahlen dem Parameter des Komplexes ab gleich; folglich besteht diese Relation 

 gleichgeltend für sämtliche Paare zu einander senkrechter Strahlen, was übrigens durch 9) 

 direkten Beweis erhält. 



Aber jedem beliebig herausgenommenen Strahl können wir auch sonst eine beliebige 

 ganze Zahl als dessen Parameter zuerteilen, nur muß diese Zahl in dem Komplex als ein 

 möglicher Parameter auftreten. 



Wollen wir einige Beispiele betrachten. 



Es sei ein Komplex mit dem Parameter 1 gegeben. Nehmen wir als Parameter eines 



Strahles die Zahl a, so erhalten wir für den senkrechten Strahl das Parameter — , das heißt 



die Zahl, welche der Zahl a parametrisch gleich ist. In diesem Komplex besitzen folglich 

 zwei senkrechte Strahlen stets einen und denselben Parameter resp. die Strahlen selbst 

 sind parametrisch gleich. Daraus folgt das Vorhandensein der vierzähligen Symmetrieachse. 



Die Gesamtheit der parametrisch gleichen Strahlen bildet einen Teilkomplex. 



Xun ist es klar, daß die Symmetrie jedes Teilkomplexes dieselbe ist, wie die des 

 Gesamtkomplexes. Aus dem Satze über Vorhandensein der Symmetrieachsen mit unend- 

 licher Zähligkeit folgt aber, daß alle Teilkomplexe deckbar gleich sind. 



In dem Komplex mit dem Parameter 1 müssen die Symmetrieebenen sich auch unter 

 dem Winkel 45° schneiden, als Folge des Vorhandenseins der vierzähligen Symmetrie- 

 achse; und wirklich ist tang 2 45°= 1. 



In dem Komplex mit dem Parameter 3 müssen die Symmetrieebenen unter 60° stehen, 

 da tang 2 60 = 3. Also besitzt derselbe drei-, folglich auch sechszählige Symmetrieachsen. 



l j Ziehen wir noch die Gerade C" unter dem Winkel B C gleich dem Winkel BOG, so besitzt 

 der Strahl C" denselben Parameter wie C (da D die Trace der Symmetrieebene ist). Andersereits 

 ist C" mit C symmetrisch in Bezug- auf E, welche mit r' den Winkel 45° bildet. Daraus folgt 

 &) daß OE keinem anderen Komplex' als {11} zugehören kann und b) daß das Produkt der Parameter 

 der so symmetrischen Strahlen gleich dem Parameter des Komplexes ist. 



