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Schreiben wir einem Strahl den Parameter 1 zu, so soll der zu ihm senkrechte den Para- 

 meter 3 besitzen. Daraus ist zu schließen, daß in diesem Komplexe nach je 30° sich die 

 Parameter 1 und 3 abwechseln. 



Natürlich ist auch in jedem anderen Komplexe mit dem Parameter a b einem Strahle 1 

 der senkrechte Strahl ab zugeordnet. 



Hier treffen wir auch verschiedenartige und lehrreiche Zahlenrelationen. 



In erster Linie ist jetzt mit den Summen der Quadrate der ganzen Zahlen zu tun, 

 wie dies aus der Formel 7) hervorgeht. 



Der Satz über das Vorhandensein der Symmetrieachse von unendlicher Zähligkeit 

 und der daraus weiter folgende Satz über das Vorhandensein einer unendlichen Reihe von 

 Teilkomplexen mit gleichen Parametern führt uns zu dem Schlüsse, daß die Gesamtheit der 

 ganzen Zahlen, welche durch 7) ausgedrückt worden ist, in eine weitere Summe zerlegt 

 werden kann, in welcher jedes Glied aus parametrisch gleichen Zahlen besteht, also: 



N=A + B+C+ . .., 10) 



wo A die Summe der Zahlen alc\, JB die Summe der Zahlen bJä u. s. f. bedeuten. 



Diese Teilsummen entsprechen den Teilkomplexen; dabei sind die Strahlen der Teil- 

 komplexe durch die Gleichheit der Winkel verbunden. 



Daß wirklich sämtliche mit gleichen Winkeln untereinander stehenden Strahlen dem- 

 selben Gesamtkomplexe angehören, ersieht man auch direkt aus dem allgemeinen Ausdruck 

 der Tangenten solcher Winkel. 



Es sei z. B. der Winkel y gegeben zwischen dem Strahle r' und beliebigem Strahle r'". 

 Natürlich hat tang 2 y die Form des Produktes ab-Tt?, wo ab der Parameter des Komplexes ist. 

 Nun ist zu beweisen, daß tang 2 ny = tang 2 yl 2 , wo 1 ebenfalls eine rationale Zahl ist. 



Zu diesem Zweck entwickeln wir den Ausdruck tang«;'. Der Kürze wegen wollen 

 wir anstatt tang y einfach t schreiben. 



Also tang 2 y = t 



tang 3 y = t 



tang 4 y = t 



tang 5 y = t 



tang 6 y = t 



o 



tang 7 y = t 

 tang 8 y = t 

 tang 9 y = t 

 tang 10 y = t 



1- 



3 



1 - 



-t» 



— t* 

 -3 t 1 

 4 — 4 t 4 





1- 



5 

 7- 



- 6 t 2 + t 4 



- 10 t 2 + t 4 

 -10t 2 -r- 5 t 4 

 6— 20 t 2 + 6 t* 





1- 

 7- 



-15 t 2 -|- 15 t*- 

 — 35t 2 + 21t 4 - 



-t 6 

 -t 6 



1- 



-21t 2 + 35t 4 — 7 t 6 

 8 — 56t 2 + 56 t*— 8 t 6 



1- 



9- 



-28t 2 + 70 t 4 - 

 -84 t 2 -i- 126 t 4 - 



■ 28 t 6 + t 8 

 -36t 6 + t 8 



1- 

 L0 



-36 t 2 + 126 t 4 — 84t 6 + 9ts 



— 120 t 2 + 252 t 4 — 120 t 6 + 10 t 8 



1— 45f- + 210 t 4 — 210 t 6 -(-45 t 8 — t 1 



