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tang»/ = t 



« — 5 n — 8 7i—l 



n - n t t 2 + n t t* j- ( - 1)"«" j^_ 5 t»" 5 + (- l)~»„-3 t n ~ 3 + (— l)~f - 1 



2 ■ 2 



i— »^_3 t a + H N _ 5 fc* h (— ip\ t»- 5 -f (— i)V», t»- 3 + (— lyrnv*- 1 



2 2 



tang(» + 1)/ = t 



( w + i)-K+ W!! _3)t 2 +(« 2 +«^ö)t 4 — +(-i)V( w „__ 3 +« 1 )t»- 3 + (— lyxcn + i)^- 1 



2 2 2 



n—Z n — 1 n — 1 



l-(n+B^)t J +(#, + »„-ö) t* + (-1)— (m„_ö + »,) t"- s +(-l)~(n„^ 3 +n) f -!+ (-1)~ t»+» 



2 2 2 2 



Dabei wird die Zahl » als eine ungerade gemeint. 



Diese Tabelle, welche unendlich fortgesetzt gedacht werden kann, dient als direkter 

 Beweis des eben erwähnten Satzes, da natürlich, wegen Rationalität des t 2 / auch sämtliche 

 Koeffizienten bei tang/ hier rationale Brüche sind. 



Das nähere Studium derselben Tangententabelle lehrt uns sehr merkwürdige Relationen 

 kennen zwischen den Koeffizienten derjenigen Glieder dieser Reihe, welche auf Tangenten 

 mit Winkeln von gerader Zähligkeit sich beziehen. Zuerst wollen wir zeigen, daß diese 

 Koeffizienten unabhängig von denen zusammengesetzt werden können, welche sich auf 

 "Winkel mit ungerader Zähligkeit beziehen. Wir haben nämlich: 



2t 

 tang 2y 



1— t a 



tang 4/ = ^^^ 



6t — 20t 3 + 6t 5 

 tang 6 ' = l-15t* + 15t*^T« 



8t — 56t 3 + 56t 5 — 8t 7 

 tang 8y — 1 _ 2gt , + 70t 4_ 28 t 6 + t 8 A) 



10t — 120t 3 + 252t 5 — 120t 7 + 10t 9 

 ang üy — 1 _ 45{ . J+ 210t* — 210t 6 + 45 t 8 - 1 10 



12t — 220t 3 + 792t 5 — 792t 7 + 220 t 8 — 12t 11 

 1 — 66t* + 495t*— 924 t B + 495t 8 — 66t lu + t 1 * 



14t— 364t 3 + 2002t 5 — 3432t 7 + 2002t 9 — 364t u + 14t 13 

 1 — 91t 2 + 1001t*— 3003t 6 -f- 3003t 8 — 1001t 10 -f- 91t 14 - 1 14 



16t — 560t 3 + 4368 t 5 — 11440t 7 + 11440t 9 — 4368t 11 + 560t 13 — 16t 15 

 1 — 120t 2 + 1820t 4 — 8008t 6 + 12870t 8 — 8008t 10 + 1820t 12 — 120t 14 + t 16 



tang 12 y 

 tang 14/ 

 tang 16/ 



Äbh. d. IL Kl. d. K. Ak. d. Wiss. XXIII. Bd. I. Abt. 



