tang2wy = 



2ret— «jt 3 + » 2 t 5 + (— l)"-'%t a "- 5 + (— ly'Wjt*'- 3 + (-ly+^wt 2 »" 



1— m,t a + m 2 t*— m 3 t 6 h (— l)"- 2 m 2 t 2 »-* -j- (— ly-'mjt*"- 2 + (— l)"t 2 " 



tarff , 9 „ , 9V , = (2 » + 2)t-(2n + «, + 2 Wl )t» + (», + », + 2m. 2 )t* + 



ol 1 — (l+m 1 + 4w)t 2 +(m 1 + m 2 + 2<)t 4 — (m 2 + »* 3 + 2ra 2 )t 6 + • ■ - J 



Alle Zahlen n lt n 2 , n 3 ... sind notwendigerweise gerade, was durch die Zusammen- 

 setzung (2 m + n 1 + 2wi,), (Wj + w 2 + 2m 2 ) . . . bewiesen wird. 



Auf diese Weise läßt sich die Tabelle unbegrenzt fortsetzen. 



Nun ist leicht zu konstatieren, daß die Summe der Quadrate des Zählers und des 

 Nenners dieser Brüche gleich ist einem vollständigen Quadrat. Daraus ist leicht zu 

 ersehen, daß 



1 /l+t 2 N 2 



1 + tang 2 8/ 



cos 2 2 y 



1 



cos 2 4 y 



1 



cos 2 6 / 



1 



cos 2 8 y 



1 + tang 2 2 v = 



1 ° ' cos 2 2/ Vi— f 



i n 



l + tan g 2 4 7 = 



1— t 2 

 (1 + t 



(1 - 6 t 2 + t 4 ) 2 B) 



(1 + t 2 ) 

 1 + tang 2 by = 



(1— 15t 2 -h 15 t 4 — t 6 ) 2 



(1 + t 2 ) 5 



(1 — 28t 2 + 70t 4 — 28t« + t 8 ) 2 



Diese Relation ist für uns von hoher Wichtigkeit, da sie zum Beweise dient, daß 

 alle mit r' den Winkel 2 n y bildenden Strahlen denselben Parameter besitzen, also mit r' 

 zu einem und demselben Teilkomplexe gehören. 



Wenn in der Tat wir dem Strahl r' den Parameter 1 zuerteilen, so ist der Para- 

 meter des Strahles, welcher mit r' den Winkel Iny bildet, in dem Ausdrucke 1 + tang 2 2ny 



= — r-jr — enthalten, und nun sehen wir. daß derselbe wirklich ein vollständiges Quadrat 

 cos 2 2«;- ° 



ist, also als Parameter gleich 1 ist. 



Erteilt man dem Winkel ;• solche Bedeutung zu, daß tang y eine ganze Zahl sein 

 würde, so erhält man für den Zähler ebenso wie für den Nenner der Brüche der ange- 

 gebenen Tangentenreihe ebenfalls ganze Zahlen, und zwar solche, deren Quadraten- 

 summe auch das Quadrat einer ganzen Zahl ist. 



Auf diese Weise ist also möglich, eine unbegrenzte Menge solcher Zahlen aufzufinden. 



Zugleich läßt sich auf Grund dieser Relationen eine Anzahl von Sätzen ableiten, zum 

 Beispiel den folgenden allgemeinen Zahlensatz: 



Fürjede ganzeZahl 1 + / 2 (wo feinebeliebige ganzeZahl ist) und ihre belie- 

 bigen Potenzen ist stets möglich, solche zugeordnete Zahlen aufzufinden, daß 



l ) Da der Koeffizient m, gleich (2n — l)n ist, so ist 1 + "U + 4» = 2n 2 + 3«+ 1 = (2 n + 1) 



2»-2 (2»-8)(2n-2) 2n-2 (2w-3) (2n-2) 



(ti + 1). Auen n, = £ + S • w £ die Summe 2 + 4 + 6-1 \- (2n — 2), und £ die Summe 1 • 2 



1-22 1-2 



2n— 2(2n-3) (2»-2) 



+ 3-4-1 1- (2 n — 3) (2 n — 2) bedeutet. Folglich (2n + m, + 2 m,) = (2 n + £ + £ + (2 « - 1) 2 ») 



2n (2n— 1)2« 2 1.2 



= S + £ u. s. f. 



2 1-2 



