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die Summe der Quadrate der beiden Zahlen gleich ist dem Quadrate einer 

 ganzen Zahl. 



Speziell für t = 1 haben wir 1 + t 2 = 2, und da tang y = 1, so ist y = —. Somit 



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erhält die periodische Reihe tang 2 y, tang 4 y, tang 6 y ... sukzessive die Werte OO, 0, 

 CO. . . . . also in angegebener Reihe sind wechselweise Nenner und Zähler gleich Null, 

 was übrigens direkt ersichtlich ist, da wechselweise die Summe der Koeffizienten in dem 

 Nenner und Zähler der Tangenten bleich Null ist. 



Wenn tang 2 n y, wo n eine ungerade Zahl ist, gleich CO wird, so behält natürlich 



dieselbe Größe auch 1 -4- tang 2 2ny resp. — ^r — . 



° ' ^ cos">2wj' 



Ist aber tang 2ny. wo n eine gerade Zahl ist, gleich 0, so erhält — r— — die Größe 1. 



cos 2 2ny 



Also bei t = 1 haben wir: 



+ (1 -f-t*)* = l — 6t 2 + t*; ±(1 + t 2 ) 4 = 1— 28t 2 + 70t 4 — 2St 6 + t 8 ; ±(l + t 2 ) 6 

 = 1— 66t 2 -f- 495t*— 924t 6 + 495t 8 — 66t 10 + t 12 u. s. f. 1 ) 



Daraus besteht eine Reihe von Sätzen über die Koeffizientengrößen der oben ange- 

 führten Tangentenausdrücke. 



Natürlich läßt sich über dieselben noch eine längere Reihe von Sätzen ableiten. 



Erteilt man z. B. der Größe t 2 den Wert 3 zu, so erhält man für 1 + tang 2 2 n y die 

 periodische Zahlenreihe -j- 4, -4- 4, -4- 1, fi, +4... und da zugleich 1 -f- t 2 = 4, so 

 findet man bei t 2 = 3 : 



4 = (1— t 2 ) 2 , 4 3 = (1 — 6t 2 + t 4 ) 2 , +4 5 = 1 — 15t 2 + 15t 4 — t 6 ; 

 4 T = (l-28t 2 -f 70t 4 — 28t 6 -f-t 8 ) 2 u. s. f. 



In den angeführten Tabellen sind also die Formeln enthalten, welche uns in Stand 

 setzen, nach der Lage des einen gegebenen Strahles unbegrenzt viele Strahlen desselben 

 Teilkomplexes aufzufinden. Wie wir aus der letzten Tabelle ersehen, gehören die Reihen 

 der rationalen Kosinusse dazu. 



Im allgemeinen, da der Winkel y in Bezug auf 2n irrational ist, erhalten wir unend- 

 liche Reihen, was gerade mit dem Begriff des Teilkomplexes übereinstimmt. Nur als Aus- 

 nahmefälle erscheinen rationale Winkel y, und dann entsteht anstatt des Komplexes nur 

 eine begrenzte Strahlenkombination. 



Für den gegebenen Komplex besteht die Gleichheit tang 2 (r'r") = — , und nun ergibt 



die erste Formel der letzten Tabelle: 



cos 2 2(,-V<)=(^ 11) 



Es ist ersichtlich, daß r'r" keinen irrationalen Wert erhält, a) wenn 2 (r'r") einen 

 rechten Winkel ausbildet, oder b) wenn Verdoppelung des Winkels keine Änderung in 

 dem Werte von cos 2 führt. 



') Da diese Gleichungen vermittelst Quadratwurzel zustande gekommen sind, so bleiben die Vor- 

 zeichen unbestimmt. 



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