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Im ersten Fall haben wir: 



'■ n 



. = 0, also a = b, und r'r" = — . 



\b -\- a) 4 



Im zweiten Fall erhält man: 



b — a\ % 1 . , _ , , a _ 



also a l = 6 ab, und — = 3. 



b -\- a) a a -\- b' b 



+ 1 



Im ersten Falle besitzt der Komplex vierzählige, im zweiten sechszählige Sym- 

 metrieachsen. 



In diesen beiden Fällen erfordert die Entwicklung des Teilkomplexes die Ersetzung 

 des Strahles (11) durch einen anderen Strahl. 



Nun läßt sich der Beweis hervorbringen, daß diese beiden Fälle die Ausnahmefälle 

 sind: sonst erhält man nur irrationale Winkel. 



Wenn in der Tat eine 2w zählige Symmetrieachse vorhanden ist, so ist tang2w/ = 0, 

 also in Anbetracht der Reihe A lassen sich sämtliche mögliche Symmetrieachsen auffinden, 

 wenn man die Reihe der Gleichungen höheren Grades 



2t = 0; 4t — 4t 3 = 0; 6t — 20t 3 + 6t 5 = 0; 8t — 56t 3 + 56t 5 — 8t 7 . . . 

 auflöst. 



Man sieht zuerst, daß alle diese Gleichungen eine gemeinschaftliche Wurzel t = 

 besitzen, und diese Auflösung gibt uns die zweizählige Symmetrieachse, deren Vorhanden- 

 sein in allen, sogar anisotropen Komplexen von Anfang an betont wurde. Überhaupt 

 lassen sich Auflösungen der ersten Gleichungen periodisch in den übrigen wiederholen. Für 

 alle geraden Werte von r haben wir die Wurzel 1, was vierzähligen Symmetrieachsen, für 

 alle Werte n = 3 Je (k beliebige ganze Zahl) haben wir die Wurzel •£•, was sechszähligen 

 Symmetrieachsen entspricht. 



Unterdrücken wir in allen diesen Gleichungen die gemeinschaftlichen Faktoren und 

 bezeichnen t 2 durch x, so erhalten wir die Reihe (zuerst sehen wir von der zweiten 

 Kolonne ab): 



x— 1 = 0; *— 1=0 



3a; 2 — 10a;+3 = 0; ,--— 10.? + 9 = 



x 3 — 7 a; 2 + Ix — 1 = 0; s*-7s % + lz— 1 = 



5a: 4 — 60a; 3 -)- 126a; 2 — 60a* + 5 = 0; ,-* — 60^ 3 + 5- 126^ 2 — 5 2 -60^ + 5 4 = 



3a; 5 — 55a; 4 -(-198a; 3 -198:c i -r-55.c-3 = 0; Ä 5 -55^ + 3- 198^ 3 -3 2 -198^+3 3 -55^-3 5 = 

 7a- 6 — 188a; 5 + 1001a; 4 — 1716a; 3 + 1001a; 2 s*— 188* 6 -f 7 • lOOl^ 4 — 7 2 - 1716^ 3 4- 7 3 



— 188a: + 7=0; -lOOl^ 2 — 7 4 -188^ + 7 6 = 



2a; 7 — 70a; 6 + 546 a; 5 — 1430 x* + 1430 a; 3 ^ 7 -70r 6 -r-2-546^ 5 -2 2 -1430^ + 2 3 -1430^ 3 

 -546a; 2 -f 70a; — 2 = 0; — 2*-546^ 2 + 2 5 -70*~— 2 7 = 



Besitzt eine dieser Gleichungen die rationale Wurzel — (und solche Wurzeln sind 



jetzt allein in Betracht zu nehmen), so müssen die Zahlen p und q als Faktoren der 

 Koeffizienten im ersten und letzten Gliede dieser Gleichungen auftreten. Gerade aber läßt 



