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sich jetzt von Faktoren absehen und lediglich die Koeffizienten im ganzen in Rücksicht 

 nehmen, da dieselben lauter einfache Zahlen sind. Da aber zugleich der erste und letzte 

 Koeffizient die gleichen Zahlen sind und die Gleichungen nicht in ganzen Zahlen (außer 1) 

 auflösbar sind, so muß p notwendigerweise gleich 1 sein. Also die einzige zulässige Form 



der Wurzel ist — . 

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Ersetzen wir also x durch — , so erhalten wir die Gleichungen in der Form, in 



welcher sie die Wurzel 1 besitzen müssen (also die Summe der Koeffizienten gleich Null 

 sein muß). In dieser Form sind diese Gleichungen in der zweiten Kolonne angegeben. 



Nun sieht man, daß diese Bedingung lediglich in den drei ersten Gleichungen erfüllt 

 ist, welchen respektive die Wurzeln 1, '\ und 1 entsprechen. 



Außer diesen beiden besitzen also die Gleichungen keine andere Wurzel, welche den 

 rationalen Winkeln entsprechen. 



Aus den Gleichungen B ersieht man noch, daß wenn solche rationalen Werte der 

 Winkel y vorhanden sind, so müssen auch die Kosinusse derselben rational sein. Und 



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 nun ist schon längst bewiesen worden, 1 ) daß solche Werte von cos — nur 0, + \ und 



+ 1 zulässig sind, und diese Werte entsprechen den vierzähligen, der drei- respektive sechs- 

 zähligen und den zweizähligen Symmetrieachsen. 



Demgemäß dürfen die oben angegebenen Sätze nur als Schlußfolgerungen ange- 

 sehen werden. 



Sonst aber existiert eine unendliche Reihe von rationalen Kosinussen, und vermittelst 

 dieser Reihe lassen sich aus einem gegebenen Strahle eines Teilkomplexes alle übrigen 

 Strahlen desselben ableiten. 



Sind a und b nicht zu große Zahlen, so können wir leicht einfachste Glieder solcher 

 Kosinus-Tabelle für jeden rationalen Komplex besonders herstellen. 



cos'^ V G c 



In der Tat — — = ----- — — ; wenn also cosr = -7 ist, so besteht — — = — -„ . 



t l y 1 — cos 2 ?' d r y a 1 — c % 



Dieser Formel gemäß läßt sich die Parametergröße für jeden rationalen Kosinus bestimmen, 



wenn wir sukzessive dem Zähler alle Werte der natürlichen Zahlenreihe, und dem Nenner 



alle Werte der größeren Zahlen erteilen. 



Diese Zusammenstellung ist in der nächstfolgenden Tabelle geschehen. Der Einfach- 

 heit wegen, da jedem Werte von c 1 eine Kolonne entspricht, ist diese Zahl nur einmal 

 am Haupte der Kolonne angegeben, und die übrigen Zahlen der Kolonne sind die Nenner 

 der Brüche, das heißt d l — c 1 . 



Wenn nicht direkt der Parameter, sondern eine andere ihm gleiche Zahl auftritt, 

 so wird dieselbe in Parenthesen eingeschlossen angezeigt. Falls der Bruch, welcher die 

 Kosinusgröße darstellt, gemeinschaftliche Faktoren im Zähler und Nenner besitzt, also 

 keinen neuen Fall darstellt, so ist die entsprechende Zahl in Klammern [] eingeschlossen. 



l ) Zuerst von Budajew in Verhandlungen der K. Mineralog. Gesellschaft zu St. Petersburg 4, 189. 



