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Im ganz speziellen Fall P = 1 resp. « 2 haben wir p 1 -\- q i = ff 2 . In die erste Kolonne 

 der letzten Tabelle kommen also lediglich die Zahlen, welche dieser Bedingung Genüge 

 leisten. 1 ) 



Wir haben gesehen, daß jeder Teilkomplex durch eine sehr einfache Operation — 

 unbegrenzt gedachte Vervielfachung eines gegebenen Winkels desselben — entwickelt 

 werden kann. Ist aber diese Entwicklung vollständig, das heißt würden mittelst dieser 

 Operation sämtliche Strahlen erscheinen ? 



Es ist leicht den Beweis hervorzubringen, daß dies nicht der Fall ist. 



Nehmen wir vorläufig an, daß dies der Fall ist für einen bestimmten Winkel a, 



dessen Kosinus gleich — ist. Nun ist sofort klar, daß, wenn wir diesen Winkel durch 

 q 



2 a. 3a.. n a . . ersetzen, der Strahl unter dem Winkel a keineswegs bei dieser Operation 

 erscheint, wie lange dieselbe auch fortgesetzt gedacht wird. Allgemeiner ausgedrückt ist 

 dies für sämtliche Winkel 2 a, 3a.. nicht der Fall, wenn zur Entwicklung als Grund- 

 winkel n a angenommen wird. Natürlich werden hier die Winkel m i 2 n -\- a, m 2 2 n -\- 2 a, 

 m 3 2 .-r + 3 a . . . m x 2 n -f- x a . . . gemeint. 



Wäre in der Tat die Annahme zutreffend, daß 



m K 2 7i -f- y- a = Nn a , 

 so würde daraus folgen 



a (Nn — y) = m x 2 n resp. a =■ -=. — 2 n. 



Nn — x 



Die Zonenachse wäre dann Symmetrieachse mit der Zähligkeit Nn — y. gewesen, 

 was aber unmöglich ist. 



Daraus folgt, daß die auf diese Weise aus a, 2 a, 3a.. (n — 1) a . . bestimmten 

 Komplexe verschiedene sind, obgleich sämtliche die Strahlen enthalten, welche schon im 

 Komplex a eingeschlossen sind. Wir können somit in Bezug auf einen . gegebenen Winkel 

 den ersten, zweiten, . . . w ten Komplex unterscheiden. 



Zum Beispiel erwähnen wir für den ersten Winkel des Teilkomplexes in dem Komplexe 

 {11} den Winkel 53° 8' 15,96", dessen Kosinus gleich f ist, so erhalten wir 



7 

 für den zweiten Winkel den Wert 106° 16' 31,92" dessen Kosinus - — ist, 



. „ dritten „ „ „ 159° 24' 47,88" „ „ il ist, 



. „ vierten „ „ , 212° 33' 3,84" „ „ ^5 ist > 



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 . , fünften „ „ „ 265° 41' 19,80" „ „ - ^ ist, 



, „ sechsten „ , „ 318» 49' 35,76" „ „ + ^g ist, 



l ) Die allgemeine Formel für die Auffindung solcher Zahlen wurde von mir schon in Zeitschrift 

 für Kristallographie 28, 47 hergeleitet. Dabei wurde von dem speziellen Fall abgesehen, für welchen 

 a — c ein volles Quadrat ist. In diesem Fall ist aber auch a-\-c ein volles Quadrat, z. B. 29 — 20 = 3 2 , 

 29 + 20 = 7 2 , also 20 2 -+- 21 2 = 29 2 u. s. w. 



Abb.. d. II. KI. d. K. Ak. d. Wiss. XXIH. Bd. I. Abt 4 



