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für den siebenten Winkel den Wert (360° + ) 11° 57' 51,72" dessen Kosinus + Jffff ist, 



78125 



, . achten , , , 65° 6' 7,68" , „ + |^||§ ist. 



Im Komplex {12} erhalten wir auf analoge Weise, falls wir als ersten Winkel 

 70° 31' 43,62" wählen, dessen Kosinus £ ist: 



7 

 für den zweiten Winkel den Wert 141° 3' 27,24" dessen Kosinus 



„ , dritten , „ „ 211° 35' 10,86" , 



„; „ vierten , , , 282° 6' 54,48" , 



, „ fünften „ „ , 352° 38' 38,10" „ 



„ „ sechsten „ , , (360°+) 63° 10' 21,72" , 



, , siebenten , „ , 133° 42' 5,34" , 



■ . achten „ , „ 204" 13' 48,96" „ 



Wenn wir einen Winkel als w ten bezeichnen, so heißt das, daß auch ein n mal geringerer 

 Winkel demselben Teilkomplex eigen ist, wenn gleich zu demselben auch eine Anzahl von 

 360° hinzugefügt wird. Der Winkel 63° 10' 21,72" in der letzten Tabelle ist nicht der 

 sechste Winkel, sondern der Winkel 423° 10' 21,72". 



Die Betrachtung dieser beiden Tabellen zeigt uns, daß der Nenner des Kosinus des 

 n tea 'Winkels die n te Potenz ist des Xenners des ersten Winkels. Es ist nun leicht zu 

 beweisen, daß dieses Verhältnis das allgemeine Gesetz ist mit Ausnahme derjenigen Fälle, 

 in welchen q eine gerade Zahl ist. 



Daß der genannte Nenner wirklich eine solche Zahl ist und nicht mehr Faktoren 

 besitzen kann, ersieht man direkt aus dem allgemeinen Ausdruck für cos in a), und zwar: 



n\ 



9 



ist, 



23 

 27 



ist, 



^ 81 



ist, 



241 

 ^ 243 



ist, 



329 

 + 729 



ist, 



1511 



ist, 



2187 



5983 



ist. 



cos (na) = cos"a — ——. — - cos" -2 a sin 2 a + —- — — p- 



2 ! (n — 2) ! 4 ! (n — 4) ! 



p" -- (q* — p*) n! _ j>"-«(g»— j?»)' 



q n Y 



(n — 2) (n — 3) (g* — jp 2 ) 

 3-4 p % 



q" 2! (« — 2)! p" 4!(w — 4)! q" 



( _ (n - 4) (n - 5) (g a -ff 2 ) X\\ 

 V ' 5-6 p» '"VJj 



Nun denken wir. daß q eine ungerade Zahl ist, und schreiben die Reihe der Ausdrücke: 



