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cos (2 o) = 2 cos 2 a — 1 = ~ (2 p % — q*) 



cos (4 a) = 2 (2 cos 2 a - l) 2 — 1 = \ [2 (2 p 2 - 2 2 ) 2 — <f] 



cos (Sa) = 2 [2 (2 cos 2 a - l) 2 - 1]* — 1 = — 8 {2 [2 (2 p 2 — g 2 ) 2 - 2 2 ] - g 2 } 



In jedem Gliede dieser Reihe haben wir in Parenthesen ein Binom von der Form 

 2 p' 2 — q % . wo p' und q keine gemeinschaftliche Faktoren besitzen; infolgedessen bleibt 

 der Nenner des Bruches cos (2" a) stets q 2 ". 



Wenn aber dies der Fall ist für diese Reihe, so muß dasselbe auch für alle anderen 

 Glieder der Reihe cos(wa) bestehen; denn, wie aus dem allgemeinen Ausdruck zu ersehen 

 ist. würde die Reduktion in einem Gliede dieser Reihe stattgehabt, so hätte dieselbe auch für 

 alle folgenden Glieder bestanden, was aber für die Glieder der eben angeführten Reibe 

 nicht der Fall sein kann. 



Dieser Satz ist für uns von hoher Bedeutung, da derselbe uns in Stand setzt für 

 jeden gegebenen Winkel eines Teilkomplexes direkt zu entscheiden, ob derselbe der erste, 

 zweite. . . . w te Winkel des Systems ist. Dazu ist nur nötig zahlenmäßig seinen Kosinus 

 auszudrücken; ist der Nenner keine ganze Potenz, so ist der Winkel der erste. 



X ur in dem Falle q = 2 r (wenn also q eine gerade Zahl ist) erfolgt eine Reduktion 

 der Ausdrücke, und zwar: 



cos (2 a) = 2 cos 2 a — 1=— (j> 2 _ 2r 2 ) 



cos (4 a) = 2 (2 cos a a — l) 2 — 1 = -^ [(j> 2 — 2 r 2 ) 2 — 2 r 2 ] 



cos (8 a) = 2 [2 (2 cos 2 a — l) 2 — 1]* — 1 = — - 8 {[(p* — 2 r 2 ) 2 — 2 r 2 ] 2 — 2 r 2 } 



Wie man sieht, ist auch in diesem Falle die Nummer des gegebenen Winkels im 

 Systeme zu ermitteln, nachdem sein Kosinus zahlenmäßigen Ausdruck in der Form eines 

 regelmäßigen Bruches erhält. 



Wenn aber die Bedingung q n (resp. 2 r") für den Nenner des Bruches notwendig 

 dafür ist, daß der Bruch im n tea Winkel des Systems wäre, so ist dieselbe nicht zugleich 

 hinreichend. 



Man hätte zum Beispiel glauben können, daß J~| ein Kosinus des zweiten Winkels 

 eines Systems gewesen wäre; dies ist aber nicht der Fall, da dieses Glied weder dem 

 System -f, noch dem System \ angehört. Also ist der zugeordnete Winkel der erste 



Winkel des speziellen Systems des Komplexes {11}. 



p p 



Die Systeme - und — - können als identische gelten, obgleich in denselben die 



identischen Glieder mit solchen von entgegengesetzten Vorzeichen wechseln. 



Aber es sind Systeme denkbar, welche teilweise identisch sind. Zum Beispiel die 

 Systeme f und 4. 



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