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Natürlich gehören diese Kosinusse den ersten Gliedern der zugeordneten Systeme an. 

 Die zweiten Glieder derselben sind respektive — -^ und -f -/ T ; die vierten Glieder sind 

 aber vollständig identisch. Wenn also der Winkel angegeben wird, dessen Kosinus -f-fi ist, 

 so bleibt ganz unbestimmt, ob das erste Glied dieses Systems -| oder i ist. 



Jedenfalls folgt aus dieser Auseinandersetzung, daß sogar ein Teilkomplex nicht etwas 

 Einheitliches darstellt, sondern in unendlich viele Teilsysteme sich gliedern läßt, und nur 

 für diese letztere kommt die Entwicklung durch Zusammenstellung einer einfachen arith- 

 metischen Progression aus dem ersten Winkel desselben zustande. 



Auf diese Weise kann jeder Teilkomplex nach einem gegebenen Strahle entwickelt 

 werden. Dazu gehört die Gesamtheit der Winkel, deren rationale Kosinusse dem Komplex- 

 Parameter entsprechen, also eine und dieselbe Gesamtheit für alle Strahlen, unabhängig 

 von den Parametern der letzteren. Wenn wir also den Strahlenkomplex (ab) so auf sich 

 selbst anlegen, daß ein Strahl vom Parameter c zur Deckung mit einem Strahle vom Para- 

 meter d kommt, so kommen zugleich die betreffenden Teilkomplexe vollständig zur Deckung ; 

 dabei kommen aber die Komplexe selbst zur Deckung, das heißt auch die übrigen Teil- 

 komplexe mit bestimmten anderen Teilkomplexen, da zur Deckung des Komplexes nur not- 

 wendig und hinreichend ist, wenn drei Strahlen einander decken. 



Gerade aber diese Folgerung ist gleichbedeutend mit dem Satze, nach welchem jeder 

 isotrope Komplex unendlick-zäklige Symmetrieachsen besitzt. 



Ist y ein Winkel zwischen zwei Strahlen verschiedener Teilkomplexe, so ist 2 y der 

 Winkel, welcher die Zähligkeit einer vorhandenen Symmetrieachse bedingt, und alle 

 Drehungen um den. mehrfachen Winkel ergeben keinen einzigen Strahl der übrigen Teil- 

 komplexe. Für den Übergang zu einem Strahl von diesen übrigen Teilkomplexen ist eine 

 Drehung um einen ganz anderen Winkel und dessen mehrfache nötig. 



Daraus ergibt sich, daß einem jeden isotropen Komplex nicht eine einzige, 

 sondern die unendliche Gesamtheit der Symmetrieachsen von unendlicher 

 Zähligkeit zukommt, und daß dabei alle unendlichen Größen, welche die Zähligkeit der 

 betreffenden Symmetrieachsen bedingen, keine endliche Faktoren (außer 2) besitzen. Als 

 Ausnahmefälle erscheinen der tetragonale Komplex, für welchen diese Größe durch 4 und 

 der hexagonale Komplex, für welchen diese Größe durch 6 teilbar ist. 



Alle diese unendlich-zähligen Symmeti-ieachsen sind untereinander inkongruent fabge- 

 sehen vom gemeinschaftlichen Faktor 2), weil bei der Annahme des gemeinschaftlichen 

 Faktors r zwischen den Zähligkeiten der beiden, dies bedeuten würde, daß auch eine n zählige 

 Symmetrieachse vorhanden ist, was, wie bewiesen, unmöglich ist. Wenn also y einen Winkel 

 zwischen zwei Strahlen verschiedener Teilkomplexe bedeutet, so fehlen in dem Komplexe 



sämtliche Winkel — , wo n eine beliebige ganze Zahl ist. 



In Anbetracht der Formel 7) haben wir hier also mit folgenden Aufgaben der Zahlen- 

 theorie zu tun. 



1. Es sind drei Zahlen a. b und c gegeben. Zu finden sind die Zahlen 

 Pi und p 2 , deren Quadratmesser up\ -\- bp\ durch c gleiche Quadrate ausgedrückt 

 werden kann? 



