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Die Auflösung dieser Zahlenaufgabe reduziert sich auf die Konstruktion eines Kom- 

 plexes mit den Ausgangsstrahlen >• (Parameter a) und r' (Parameter b) und die Entscheidung 

 darüber, ob Strahlen mit dem Parameter c vorhanden sind. 



Haben wir einmal konstatiert, daß ein solcher Parameter wirklich vorhanden ist, 

 so existiert ein ganzer Teilkomplex mit diesem Parameter. Folglich, wenn es möglich 

 erscheint, die Summe von a Quadraten irgendwelcher ganzen Zahl p^ und von 

 b Quadraten einer ganzen Zahl p 2 durch die Summe von c Quadraten einer Zahl 

 q zu ersetzen, so sind unendlich viele Zahlen p lt p 2 und q vorhanden, welche 

 dieser Bedingung Genüge leisten. Die betreffenden Strahlen (p, p 2 ) bilden eine unend- 

 liche Reihe von Winkeln, welchen rationale Kosinusse entsprechen und dem Komplex- 

 parameter a b entsprechen. 



Daraus ersehen wir, daß dieselbe Aufgabe mehr korrekt so zu formulieren wäre: 



2. Es sind zwei ganze Zahlen a und b gegeben. Zu entscheiden ist, ob 

 die Summe von a p\-\-bp\, iroj), und ^ 2 verschiedenartige ganze Zahlen sind, 

 durch c gleiche Quadrate ausgedrückt werden kann? oder noch: „durch welche 

 Summe von c gleichen Quadraten kann die Summe ap\-\-bpi ausgedrückt werden, 

 wo p 1 und p 2 beliebige ganze Zahlen sind?" 



Vom Standpunkt der Syngonielehre reduziert sich diese Aufgabe auf die Auffindung der 

 möglichen Strahlenparameter. Unter den notwendig vorhandenen Werten von c sind auch 

 die Zahlen a und b vorhanden, das heißt die Summe ap\-\-bp\ kann auf unendliche 

 A\ eise auch einfach durch die Summen von a resp. b gleichen Quadraten ersetzt werden. 

 Ist z. B. fl = 1, so kann diese Summe auf unendliche Weise auch durch ein einziges Quadrat 

 der ganzen Zahlen ersetzt werden. 



Aus allem Gesagten geht klar hervor, auf welche Weise sich jeder Komplex bildlich 

 vorstellen läßt. 



Derselbe besteht aus einer unendlichen Anzahl von Teilkomplexen, und jedem letzteren 

 kommt eine bestimmte Parametergröße, die gleiche für alle Strahlen des Teilkomplexes, zu. 

 Wenn wir also jedem Strahle eine Strecke zuerteilen, welche durch diesen Parameter aus- 

 gedrückt wird, so wird jeder Teilkomplex durch einen Kreis dargestellt und der vollständige 

 Komplex durch eine Gesamtheit von konzentrischen Kreisen, deren Radien gleich sind 

 den respektiven Parametern der Teilkomplexe. 



Xun aber spielen sämtliche Strahlen des Komplexes dieselbe Rolle, da durch Drehung 

 um einen bestimmten Winkel zwischen zwei Strahlen verschiedener Teilkomplexe auch der 

 vollständige Komplex mit sich zur Deckung kommt. 



Von dem erwähnten bildlichen Standpunkte aus ist aber diese Drehoperation identisch 

 mit Verlängerung einer Strecke um eine Größe, welche dieselbe einer anderen Strecke 

 gleich macht und einem Strahle des anderen Teilkomplexes zukommt. 



Falls wir also die Strecken eines Ausgangsstrahles um einen Faktor vergrößern, 

 wodurch diese Strecke einer anderen Strecke des Komplexes gleich kommt und zugleich 

 sämtliche anderen Strahlenstrecken um denselben Faktor vergrößern, so erhalten wir einen 

 mit dem früheren identischen Komplex, was seine bildliche Darstellung anbetrifft, obgleich 

 der analytische Ausdruck des Komplexes durch die Formel 7) verändert wird. 



Multiplizieren wir zum Beispiel diese Gleichung mit a c, so erhalten wir : 



cp'i-\-abcp: = aq i . 7 a) 



