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Diese Identität der Komplexe führt zu einer sehr wichtigen Folgerung. 



Denken wir, daß a und c Primzahlen sind, ebenso wie eine noch vorhandene 

 Komplexzahl d. Die Multiplikation mit a c gibt die Zahl acd; die Identität des Kom- 

 plexes erfordert aber, daß auch in dem ersten Komplexe die Zahl a c d vertreten wäre. 

 Also sind die Komplexzahlen (Parameter) die verschiedenartigen Produkte der 

 bestimmten Primzahlen, welche selbst als Parameter auftreten. 



Wenn aber d nicht eine Primzahl ist, sondern ein Produkt d, d 2 von zwei (oder 

 mehreren) Primzahlen, so sagt das Produkt a c d 1 d 2 gar nicht aus, daß notwendiger- 

 weise auch d A und d 2 als selbständige Parameter auftreten. Es ist also auch der Fall 

 nicht ausgeschlossen, daß einige Primzahlen nicht selbständig als Para- 

 meter, sondern nur als Faktoren der Parameterzahlen auftreten. 



Nun ist aber stets möglich solche zwei Zahlen a und h auszuwählen, daß die Summe 

 ap\-\-bpl durch keine p : ,p 2 als ein einziges Quadrat dargestellt werden kann. Durch 

 die Multiplikation mit a nimmt aber die Summe die Form p'\ -j- a bpl an, und da die Para- 

 meter der Ausgangsstrahlen natürlich zwei möglichen Parametern der Komplexstrahlen 

 angehören, so ist jetzt auch Parameter 1 notwendigerweise ein möglicher Strahlenparameter. 



Daraus ist zu folgern, daß in der Reihe der Komplexzahlen desselben Kom- 

 plexes in seinen beiden Formen ap\-\-bp\ und p'l -\- a b pl keine einzige gemein- 

 schaftliche ist. Wäre eine einzige Zahl für beide Komplexe gemeinschaftlich, so würden 

 auch sämtliche Komplexzahlen identisch, und das ist unmöglich. 



Demzufolge sind Strahlenkomjdexe und Zahlenkomplexe zu unterscheiden: einem 

 und demselben Strahlenkomplexe können verschiedene Zahlenkomplexe zu- 

 geordnet sein, und dann haben solche Zahlenkomplexe keine einzige Zahl 

 gemeinschaftlich. Wollen wir solche Zahlenkomplexe als koordinierte bezeichnen. 



Dann ist der Satz zu formulieren: jeden zwei koordinierten Zahlenkomplexen 

 gehört eine und dieselbe Gesamtheit der Primzahlen zu, aber in ver- 

 schiedenen Kombinationen als Faktoren der Zahl. 



Solche Zahlenkomplexe, welchen keine koordinierten Zahlenkomplexe zugeordnet sind, 

 wollen wir als vollständige bezeichnen. 



Nun ist es klar, daß jeder vollständige Zahlenkomplex auch die Zahl 1 enthält und 

 überhaupt alle seine Zahlen alle möglichen Kombinationen einer bestimmten Reihe von 

 Primzahlen darstellen : wäre eine Faktorenkombination a t a t a s . . . nicht darin enthalten, so 

 würden demselben auch sämtliche andere Kombinationen dieser einfachen Zahlen a v a 2 , a 3 

 fremd sein, da durch Multiplikation mit a„ a 2 , a 3 , a, a 2 , a, a s u. s. w. wir andere Kom- 

 binationen erhalten, welche durch Einführung der komplementären Faktoren die Zahl 

 <(, «., « s . . . ergeben hätten, als ein Glied des koordinierten Zahlenkomplexes, und dies ist 

 unmöglich. 



Also kann der vollständige Komplex nur durch die Gleichung der Form 



apl+P^cq* 7 b) 



ausgedrückt werden, und dabei muß a eine Primzahl sein, weil sonst, z. B. wenn a = a, o 2 , 

 «j ein möglicher Parameter gewesen wäre; so würde er nur mit einem quadratischen Faktor 

 erscheinen können und die Kombination der Faktoren würde in dem Komplexe nicht voll- 

 ständig vertreten sein, da die Zahlen a v a 2 , einzeln genommen, in demselben nicht auftreten 



