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würden. Die Ursache des Fehlens dieser Zahlen ist also dieselbe, wie die der Gleichheit 

 einer der Zahlen a oder b der Einheit. 



Durch Multiplikation mit a erhält die Gleichung die Form: 



p'l -\- a p\ = a c (f. 7 c) 



Die Einheit wird durch a und a durch die Einheit ersetzt, ebenso wie c durch a c 

 und a c durch e. Das ist keine eigentliche Multiplikation , sondern die Vertauschung 

 des Strahles r mit r\ was natürlich stets erlaubt worden ist, ohne daß dabei eine Ände- 

 rung auftritt. 



Überhaupt bleibt der Zahlenkomplex unverändert, wenn man seine sämt- 

 lichen Zahlen durch zwei derselben multipliziert. Sind z. B. zwei Zahlen a und b 

 vorhanden, so ersetzt die Multiplikation mit ab a durch b und b durch a. Nun ist aber 

 das Vorhandensein einer einzigen gemeinschaftlichen Zahl genügend, um die Identität der 

 Zahlenkomplexe festzustellen. 



Wenn also der Komplex durch zwei Zahlen 1 und a x a 2 bestimmt wird, so enthält 

 derselbe weder a 1 noch « ä , da einfach Multiplikation durch a l a 2 diese zwei einander 

 gegenseitig ersetzt. Das gleichzeitige Vorhandensein sämtlicher vier Zahlen 1, a„ a„ und 

 C, o. 2 würde bedeuten, daß der Komplex vollständig ist, was für die nicht einfache Zahl 

 »j ff, unmöglich ist. 



"Wird der Komplex durch zwei Zahlen 1 und a 1 a 2 a 3 bestimmt, so findet man auf 

 dieselbe Weise, daß demselben weder a v « 2 , fl 3 , noch a y a 2 , <z, a 3 , a 2 a s notwendig zugehören. 

 Überhaupt demjenigen koordinierten Komplex, welchem die Zahlen a x und a 2 a s zuge- 

 hören, können nicht die Zahlen « 2 und a, « 3 , auch nicht die Zahlen a 3 und a^ a 2 zugehören. 

 Diesem Strahlenkomplex sind somit vier Zahlenkomplexe zugeordnet. 



Bei größerer Anzahl von einfachen Faktoren erhält man auch größere Anzahl der 

 zugeordneten konjugierten Zahlenkomplexe. Es ist leicht den Beweis- zu erbringen, daß, 

 wenn die Anzahl der einfachen Zahlenfaktoren gleich n ist, die Anzahl der zugeordneten 

 Zahlenkomplexe 2 n — l ist. 



Aber es ist nicht ausgeschlossen, daß auch einem einzigen einfachen Faktor nicht 

 der vollständige, sondern eine Anzahl koordinierter Zahlenkomplexe entspricht und daß 

 dies sogar der allgemeine Fall ist. Man bedenke nur, daß unter anderen auch stets der 

 Parameter 1 + a vorhanden ist (dazu ist nur nötig p l und p 2 gleich 1 zu setzen); da a 

 eine ungerade Zahl ist (mit Ausnahme von a = 2), so ist 1 -\- a stets eine gerade Zahl und 

 überhaupt kann 1 + a verschiedene Faktoren besitzen, und diese Faktoren können nicht 

 explicite als Parameter auftreten. 



Sehr lehrreich ist hier auch die Vektorentheorie (resp. die Lehre der Imaginären) 

 zur Anwendung zu bringen. 



Man weiß, daß nach dieser Theorie a + b i, also auch p i ~\f a + p 2 ~\/b ■ i (wo i = V — 1 ) 

 einen Vektor ausdrückt, welcher eine Resultierende (geometrische Summe) von zwei senkrechten 

 Vektoren a resp. p^ ya auf der Ausgangsgerade und b resp. p 2 yb auf der dazu senkrechten 

 Gerade ist. Die jedem Vektor zukommende Streckengröße wird nach Hamilton „Skalar" 

 genannt. Also die Größen a resp. ^Ka.und b resp. p 2 yb sind die Skalare beider zu- 

 sammengesetzten Vektoren. 



