32 



Die Summierung zweier komplexen Zahlen geschieht durch die gesonderte Summierung 

 ihrer reellen und ihrer imaginären Zahlen. Die geometrische Bedeutung der Summe ist 

 die parallelogrammatische Zusammensetzung wie bei dem Summieren der Kräfte u. dgl. 

 Also ist die Zahl p 1 ya -f- p 2 ybi die Summe von p x ya und p 2 yb i und der betreffende 

 Vektor ist die Diagonale des Kechteckes, dessen Seiten den zusammensetzenden Skalaren 

 scleich ist. 



In der Theorie der Imaginären wird anstatt „Skalar" das Fachwort „Modulus" gebraucht. 



Der komplexen Zahl a-\-bi entspricht der Modulus Ya' l -\- b*. Also ist der Para- 

 meter der Syngonielehre das Quadrat des Modulus. Ausserdem nennt man „Argument" den 



Winkel a, für welchen tang a = — , also der Winkel zwischen dem Ausgangsstrahle r und 



dem gegebenem Vektor resp. Strahl. 



Für den Vektor resp. Strahl p x Ya + p 2 Y~bi ist der Modulus Y«Pi + b p\ resp. qY(- 

 Nun ist von vornherein klar, daß die Summe der Vektoren eines rationalen Kom- 

 plexes ein Vektor desselben Komplexes ist. 

 In der Tat haben wir: 



( Pl Va~ + ft Vbl) + Ö, Ya + q, Yb^i) = (ft + 2,) V« + (ft 4- q. 2 ) VF*. 



Diesem zusammengesetzten Vektor gehört der Modulus Ya(p : -\- q 1 Y~{-b(p 2 -\- q 2 ) 2 an. 



Fig. 6. 



Der Begriff „Vektor" unterscheidet sich von dem einfacheren Begriff .Strahl" dadurch, 

 daß in dem ersten außer der Lage des Strahles noch seine Strecke hinzugenommen wird. 

 Dieser Unterschied ist also dem Unterschiede zwischen Koordinatenachse und kristallographi- 

 scher Achse analog. 



Es muß noch bemerkt werden, daß der Parameter nicht eigentlich das Quadrat des 

 Modulus, sondern diese Zahl mit Ausschluß von quadratischen Faktoren, als nicht c q*, 

 sondern c ist. 



Der Begriff des Symboles (j^p?) eines Strahles gehört ausschließlich der Lehre von den 

 rationalen Strahlenkomplexen, also der reinen Syngonielehre an. und war der allgemeinen 

 Vektorenlehre fremd. 



Nun wird in der Theorie des Imaginären der für uns sehr wichtige Satz bewiesen, 

 daß die Multiplikation zweier (oder mehrerer) komplexen Zahlen eine Zahl ergibt, deren 

 Modulus dem Produkte der Moduli und deren Argumente der Summe der Argumente der 

 o-egebenen Zahlen arleich sind. 



In der Theorie der Vektoren ist dasselbe in Bezug auf Vektoren selbst der Fall. 



Es ist leicht den Beweis hervorzubringen, daß das Produkt zweier Vektoren 

 eines gegebenen Komplexes ein Vektor desselben Komplexes ist. 



