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Auf Grund des Satzes, nach welchem sämtlichen Komplexstrahlen die gleiche Rolle 

 zukommt, ist es zuerst ganz klar, daß, wenn außer r" , welcher mit r den Winkel a bildet, 

 noch der Strahl r"' in demselben Komplexe vorkommt, welcher mit r den Winkel ß bildet, 

 auch der Strahl r" vorhanden ist. welcher mit r den Winkel a -f- ß bildet, da dieser 

 Strahl mit r" den Winkel ß, also denselben wie r'" mit r, bildet. 



Xehmen wir weiter den Strahl resp. Vektor r" (Fig. 6) als den Ausgangsvektor. Da 

 die Strecke dr" die diesem Vektor zugeordnete Strecke (Modulus) ist, so wird jede geo- 

 metrische Konstruktion, welche aus einem gegebenen Strahl zu einem anderen desselben 

 Komplexes führt, für den letzteren auch die ihm früher zukommende Strecke ergeben. Und 

 nun ist die Konstruktion des Strahles r IV mittelst der Winkel ß und y aus r" genau dieselbe. 

 wie die Konstruktion von r'" aus r. Also ist der Vektor r iv ein Vektor des Komplexes. 

 Aber dieser Vektor ist das Produkt der Vektoren r" und r'"S) 



Sind also die Parameter der Strahlen r" und r'" Primzahlen a 1 und a. 2 , so ist der 

 Parameter des Strahles r IV das Produkt a, und a. 2 . Folglich sind unter den Parametern 

 alle solche vorhanden, welche sämtliche mögliche Kombinationen derjenigen Primzahlen 

 darstellen, die auch gesondert die Parameter einiger Strahlen sind. 2 ) 



Daraus folgt weiter, daß solche Vektoren nicht möglich sind, deren Parameter das 

 Produkt a f darstellt, wo a die Primzahl ist, welche als Parameter auftritt, und f eine 

 solche, welche als Parameter nicht auftritt. Also sind die Primzahlen, welche, 

 vereinzelt, als Parameter, nicht auftreten, auch in Produkten nur in einer 

 Gesamtheit und nicht vereinzelt möglich. 



Im besonderen sind für einen Komplex (1. a b) die Parameter a und b unmöglich. 

 Da aber (1, ab) und (ab) eigentlich einen und denselben Strahlenkomplex darstellen, so 

 sind dieselben als Zahlenkomplexe von Grund aus verschieden (besitzen keine einzige gemein- 

 schaftliche Zahl). Zwei solche Zahlenkomplexe, zusammen genommen, bilden einen voll- 

 ständigen Komplex. 



Ganz analog können wir diese Regel auf die Komplexe übertragen, welche durch 1 

 und ein Produkt von mehr als zwei Primzahlen sich bestimmen lassen. 



Im Speziellen können wir aber einen gegebenen Vektor beliebige Male mit sich selbst 

 multiplizieren, das heißt denselben potenzieren, und alle Potenzen desselben bilden ebenfalls 

 mögliche Vektoren des Komplexes. 



Bei sukzessiver Potenzierung erhalten wir für einen Vektor p i ya -\- p t Vb ■ i eine 

 arithmetische Reihe von Argumenten a, also a, 2 a, 3a... und zugleich ist der Modulus 

 der Potenz gleich der respektiven Potenz des Modulus, also der Reihe nach V ap\ -\- bp\, 

 (Va PI + b pf)* = a p\ -\- b pl (Parameter gleich 1), {Vapl^- bpl) i = Yapi -t- bpl u.s.w., also 

 Sukzession von zwei gleichen Parametern, in welchen alle geraden Glieder gleich 1 sind. 



>) Das Produkt der Vektoren p t \ a -\- p 2 Yb ■ i und q t Va -|- q 2 Yb • i ist der Vektoren summe 

 (p, 2l a — p 2 q 2 h) + Va b ( Pl q 2 + p 1 q 1 )i gleich. 



2 ) Zu bemerken ist, daß dabei der Ausgangsvektor gleich 1 vorausgesetzt wird. Für die Komplexe 

 {a f 'j. wo keine bestimmende Zahl gleich 1 ist, ist der Satz nicht mehr anwendbar; nun aber kann ein 

 solcher Zahlenkomplex durch {l,a6| ersetzt werden, und dann erhält der Satz wieder seine Gültigkeit. 



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