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AVenn wir also alle diese Potenzen mit dem Vektor des Ausgangsstrahles multiplizieren, so 

 erhalten wir die Sukzession von Modulen va, Vap[-\-b])l und ]/a. 



Alle gerade Glieder dieser Sukzession bilden zusammen einen Kreis mit dem Radius 

 a, und die ungeraden Glieder den Kreis mit dem Radius a{ap\ + b pi), resp. a c q 1 . 



Somit sind wir auf anderem Wege zu derselben bildlichen Vorstellung des Komplexes 

 durch eine unendliche Gesamtheit konzentrischer Kreise gekommen. 



Nun wollen wir einige einfache Beispiele näher betrachten. 



Bei der Entwicklung (in V Perioden) verschiedener Komplexe wollen wir die Symbole 

 der Strahlen in Klammern oben und die zugeordneten Parameter unten schreiben. 



Entwicklung des Komplexes {11}. 



(Ol) (12) (11) 



(21) (10) 



1 5 2 



5 1 



(13) (23) (32) 



(31) 



10 13 13 



10 



(14) (25) (35) (34) (43) 



(53) (52) (41) 



17 29 34 1 1 



34 29 17 



(15) (27) (38) (37) (47) (58) (57) (45) (54) (75) (85) (74) (73) (83) (72) (51) 

 26 53 73 58 65 89 74 41 41 74 89 65 58 73 53 26 



(16) (29) (3 • 11) (3 • 10) (4 • 11) (5 • 13) (5 • 12) (49) (59) (7 • 12) (8 • 13) (7 • 11) (7 • 10) 

 37 85 130 109 137 191 169 97 106 193 233 170 149 



(8 • 11) (7 • 12) (56) (65) (12 • 7) (11 • 8) (10 • 7) (11 • 7) (13 • 8) (12 • 7) (95) (94) (12 • 5) 



185 193 61 61 193 185 149 170 233 193 106 97 169 



(13 • 5) (11 • 4) (10 • 3) (11 • 3) (92) (61) 



191 137 109 130 85 37 



Alle diese Parameter in der Reihe der Zahlen vereinigend, erhalten wir die Tabelle: 



1 • 2 • 5 • 10 • 13 • 17 • 26 • 29 - 34 • 37 • 41 ■ 53 • 5S ■ 61 • 65 • 73 • 74 • 85 ■ 89 • 97 • 106 • 109 • 130 . . . 

 2-5 2-13 2-17 2-29 513 2-37 5-17 2-53 2-5-13 



Sehr merkwürdig ist die Reihe der Primzahlen, welche diesen vollständigen Komplex 

 bilden. Das sind außer der Zahl 2 noch die Primzahlen von der Form 1+4», also: 



1, 2. 5, (9), 13, 17, (21), (25), 29, (33), 37, 41, (45), (49), 53, (57), 

 61, (65), (69), 73, (77), (81), (85). 89, (93), 97 



Also sind alle diejenigen Glieder dieser arithmetischen Progression auszustreichen, 

 welche nicht Primzahlen sind; deswegen sind sie in Klammern eingeschlossen. 



Bei der eingeschränkten Entwicklung ist natürlich das Fehlen einiger Glieder zu 

 erwarten, welche aus der weiteren Entwicklung zum Vorschein kommen würden. 



Eine solche Zahl ist z. B. 82 = 2 • 41. Nun ist aber leicht zu beweisen, daß diese 

 Zahl notwendigerweise als ein Parameter dieses Komplexes auftreten muß. Dazu ist nötig 

 die Tangente derjenigen Summe von zwei Winkeln zu bestimmen, welche den Strahlen 2 

 (Symbol 11) und 41 (Symbol 54) entsprechen. 



