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Ich glaube, daß das einfachste Verfahren dasselbe ist, welches weiter unten an dem 

 Beispiele {1 • 30} demonstriert wird. Dabei werden der Prüfung nicht allein die Prim- 

 zahlen selbst, sondern auch deren Produkte mit den einfachsten Parametern des Komplexes, 

 je eine aus jeder Zeile, unterzogen. Gerade aus der Zusammensetzung der Faktoren ersehen 

 wir, auf welche Zeile die gefundene Primzahl Bezug hat. 



Für diesen Komplex schreiben wir also folgende Quadratenreihen: 



1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 



324 361 400 441 484 529 576 .... 



30 120 270 480 750 1080 .... 



Da die Zahl 30 aus den Faktoren 2, 3 und 5 besteht, so erhalten wir direkt die 

 Änfangsglieder sämtlicher vier Zeilen und nun steht uns bevor, jede Primzahl sukzessive 

 mit allen diesen Zahlen zu multiplizieren und der Prüfung zu unterziehen, ob die so 

 gefundene Zahl eine Summe von zwei dieser quadratischen Zahlen ist. 



Nun finden wir: 



5 • 11 = 25 + 30, 3 • 13 = 9 + 30, 2 • 17 = 4 + 30, 2 • 23 = 16 + 30, 5-29 = 25 + 120, 



31 = 1 4- 30, 3 • 37 = 81 + 30, 3 • 43 = 9 + 120. 2 • 47 = 64 4- 30, 5 • 59 = 25 -f- 270, 



3-67 = 81 + 120, 79 = 49 + 30, 5-101 = 25 + 480, 2-113 = 196 + 30, 

 5 • 131 = 625 + 30, 2 • 137 = 4 + 270 . . . 



Daraus entnehmen wir direkt folgende Zeilen der Primzahlen: 



1 31 79 



2 17 23 47 113 137 



3 13 37 43 67 



5 11 29 59 101 131 



Diese Zeilen sind mit den oben angegebenen identisch, aber auf viel einfachere Weise 

 erhalten, als jene. 



Unter allen isotropen Komplexen sind also zwei, und nur zwei, welche sich durch 

 ihre Symmetrieeigenschaften auszeichnen und infolgedessen auf besondere Syngoniearten zu 

 beziehen sind. Das sind {11}, dessen Syngonie als tetragonale und {13}, dessen Syngonie 

 als hexagonale bezeichnet wird. 



Zusammengenommen sind also vier Syngoniearten der ebenen Komplexe zu ver- 

 zeichnen: monokline, rhombische, tetragonale und hexagonale. 



Wir haben gesehen, daß sämtliche Vektoren eines Strahlenkomplexes durch Addition 

 von zwei senkrechten Vektoren p x ya und p 2 Yb ■ i sich ableiten lassen, wo p 1 und p 2 die 

 Gesamtheit aller ganzen Zahlen ist. 



Analytischer Ausdruck dieser Gesamtheit ist die Gleichung 



ap\ + lpl = c<£, 

 also eine lineare quadratische Form. 



Xun ist offenbar, daß die erwähnte Vektorensumme ein ebenes Netz bedingt, dessen 

 parallelogrammatischen Maschen Rechtecke sind, mit den Seiten Ya und Yb respek- 

 tive auf den Strahl r und r'. Wie bekannt, drückt dasselbe auch die angegebene quadra- 

 tische Form aus. Ein einziger Widerspruch entsteht bei Anwesenheit der sechszähligen 

 Symmetrieachse, also für die Form pt J r^pl = cif. 



