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Der Vektor 1 -f- VS ■ i hat den Modulus \\ + 3 = 2; derselbe ist also mit dem 

 Modulus von 1 nicht gleich, sondern doppelt so groß, trotzdem daß der Winkel zwischen 

 beiden 60° groß ist. In diesem einzigen Falle, um den Widerspruch zu beseitigen und 

 das Vorhandensein der sechszähligen Symmetrieachse wirklich geltend zu machen, muß 

 man die betreffenden rechteckig -parallelepipedischen Maschen noch mit Zentralpunkten 

 ergänzen, was aber zulässig, da dadurch keine Parametergröße in dem Strahlensystem 

 einer Änderung unterliegt: aber dieses ergänzende Punktsystem ist von vornherein in der 

 allgemeinen Gleichung nicht enthalten. 



Es ist selbstverständlich, daß solche ei - gänzende Punktsysteme auch für sämtliche 

 vollständige Vektorensysteme zulässig und im Allgemeinen die auf diese Weise erhaltenen 

 Punktsysteme verschieden sind. 



Jedem vollständigen Vektorensystem entsprechen also je zwei regelmäßige 

 Punktsysteme einfachster Art resp. ebene Netze. 



Somit sind wir also zur Theorie der ebenen Netze gekommen. Darin liegen also die 

 Berührungspunkte der Syngonielehre mit dieser Theorie. 



Daß sämtliche solche Punktsysteme wirklich die ebenen Netze sind, ist daraus 

 ersichtlich, daß dabei ganz gleichgültig jeder Systempunkt für den Mittelpunkt des gleichen 

 Strahlen- resp. Vektorensystems angenommen werden darf. Bei solcher Transformation 

 ändern sich nur die ganzen Zahlen p x und p 2 , und nun ist von vornherein vorausgesetzt, 

 daß diese Zahlen sämtlich ganze Zahlen sind. Die erwähnte Transformation führt also 

 noch zu keiner Änderung in dem Punktsystem. 



Speziell aber für den Fall des Vektorensystems {11} dürfen die beiden zugeordneten 

 Punktsysteme als die gleichen angesehen werden: durch die Addition der Vektoren 1 und 

 i erhält man zwar den Vektor 1 + i mit dem Modulus Y-, also für den neu eingeführten 



V2 



Punkt den Modulus -=— , aber jedes Vektorensystem kann als das gleiche betrachtet werden, 



wenn wir seine sämtliche Vektoren mit einer und derselben, rationalen oder irrationalen 



Zahl, multiplizieren. Und nun wird das neu gefundene System mit dem früheren identisch, 



2 

 wenn wir als einen solchen Faktor — = annehmen. 



1/2 



Nun führt die Anwendung der Syngonielehre auf die Lehre über die ebenen Netze zu 

 folgender neuen Definition und folgenden Sätzen: 



Ein ebenes Netz, dessen parallelogrammatischen Maschen Rechtecke 

 sind mit den Seiten \a resp. Yb (wo ab ganze Zahlen sind) wird das isotrope 

 genannt. 



Es gibt unendlich viele isotrope ebene Netze. 



Wenn wir in einem isotropen ebenen Netze die Seiten der Maschen, welche die 

 Vektoren ya und Yb ■ i sind, durch zwei beliebige senkrechte Vektoren p l Ya + P 2 Yb • i 

 und a jp, Yb -\- b p 2 Ya ■ i ersetzen und diese wieder als Maschenseiten annehmen, so erhalten 

 wir das dem früheren gleiche ebene Netz. 



Also enthält jedes isotrope ebene Netz unendlich viele nicht parallele 

 gleiche ebene Netze in sich. 



Nun denken wir uns, daß um jeden Punkt eines isotropen ebenen Netzes gleichzeitig 

 und mit gleicher Geschwindigkeit ein Kreis wächst, dessen Mittelpunkt dieser Punkt ist, 



