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bis endlich unendlich viele Kreise zugleich zur Berührung kommen, aber in dem frei 

 gebliebenen Räume mit derselben Geschwindigkeit fortwachsen; zuletzt entsteht in der 

 unbegrenzt gedachten Ebene ein System gleicher und paralleler Polygone, welche Par- 

 allelogone genannt wurden, da in denselben notwendigerweise die Seiten in die gleichen 

 und parallel zugeordneten Seiten sich teilen lassen. 



Daß diese Figuren wirklich Polygone und dabei Paarseitner J ) sind, ergibt sich 

 daraus, daß unter gemachter Voraussetzung ihre Grenzseiten zu den ein Paar nächster 

 Punkte verbindenden Geraden die senkrechten Geraden sind, welche durch die Mittelpunkte 

 der betreffenden Strecken hindurchgehen. Daß die Figuren Parallelogone sind, folgt 

 daraus, daß durch dieselben die Ebene in parallele gleiche Teile regulär geteilt wird. 

 Zugleich sind diese Parallelogone konvexe Polygone. 



In der Lehre von der regulären Planteilung wird der Beweis erbracht, daß solche 

 Parallelogone von Tri- resp. Diparallelogonen möglich sind. 



Es sei noch erwähnt, daß hier von den primitiven und einfachen Parallelogonen die 

 Bede ist. 2 ) 



Nun ist von vornherein klar, daß jedem isotropen ebenen Netz erster Art 

 (d. h. ohne Hinzufügen des intermediären Punktsystems) die Parallelogone zukommen, 

 welche mit den rechteckigen Maschen des Netzes selbst identisch sind. 



Weiter ist leicht der Beweis zu erbringen, daß jedem isotropen ebenen Netz 

 zweiter Art bestimmte Triparallelogone zukommen. 



In jedem solchen Punktsystem sind, außer den durch die allgemeine Formel be- 

 dingten Punkten a, b, c, d (Fig. 7), noch die intermediären Punkte o vorhanden. Verbinden 



Fig. 7. 



wir einen solchen Punkt mit den ihm nächstliegenden Punkten a, b, c, d und ziehen 

 zu den Mittelpunkten «', b', c', d' der so entstandenen Strecken die Perpendikel, so bedingen 

 dieselben das Perimeter des betreffenden Triparallelogons, wie dies aus der Figur unmittelbar 

 ersichtlich ist. Dieses Parallelogon wird dann in ein Diparallelogon verwandelt, wenn eine 

 Seite etwa sich bis zum Verschwinden verkürzt. In diesem Fall, wie aus der Figur 8 

 ersichtlich, verwandelt sich die rechteckige Masche in die quadratische, und dann entsteht 



*) Unter Paarseitner wurde noch in den Elementen der Gestaltenlehre des Verfassers ein Polygon 

 verstanden, dessen Seiten paarweise gleich und parallel sind. 



2 i La; Parallelogon heißt primitiv, wenn es das Inversionszentrum besitzt. Das primitive Parallelogon 

 ist einfach, wenn in demselben nur je ein Paar paralleler Seiten vorhanden sind. Ein konvexes Parallelogon 

 ist stets primitiv und einfach. 



