46 



das Punktsystem zweiter Art von dem Parametersystem {11}. welches, wie eben bewiesen, 

 gleich ist dem betreffenden Punktsystem erster Art. 



Nun wurde in der Lehre von der regulären Planteilung der Beweis erbracht, daß den 

 besonderen symmetrischen Komplexen {11} und {13} besondere symmetrische Parallelogone 

 zugeordnet sind, und zwar dem {11} das Quadrat und dem Punktsystem zweiter Art von 

 {13} das reguläre Sechseck. Die anderen Vektorensystemen zukommenden Parallelogone 

 sind anomale, das heißt solche, welche durch kein System von Verschiebungen in 

 das Quadrat resp. in ein reguläres Sechseck verwandelt werden können. In der Tat, jedem 

 solchen Parallelogon können zwei konzentrische Kreise eingeschrieben werden, deren Durch- 

 messer den Höhenlinien der betreffenden Parallelogone entspricht. Dies ist in der Figur 9 

 für Di- und in der Figur 10 für Triparallelogone angezeigt. 



Fig. 9. 



Fig-. 10. 



Auch in diese Lehre führt die Syngonielehre neue Definitionen und Sätze ein und zwar: 



Unter isotropen Parallelogonen werden solche verstanden, deren Höhen- 

 linien (resp. die die Berührungspunkte der Parallelogone mit Kreisen verbindenden Durch- 

 messer) die Vektoren eines isotropen Komplexes sind. 



Es gibt unendlich viele isotrope Parallelogone. Darunter zeichnen sich zwei 

 besondere - - das Quadrat und das reguläre Sechseck — aus und die übrigen sind die 

 anomalen. Überhaupt ist jedem isotropen Vektorenkomplex ein Di- und ein Tri- 

 paralleloguii zugeordnet. 



Zwei besondere Parallelogone zeichnen sich dadurch aus, date darin nur ein einziger 

 Kreis eingeschrieben ist, in den übrigen aber zwei Kreise. 



Andererseits können in den letzteren zwei eingeschriebene Kreise durch eine einzige 

 Ellipse ersetzt werden. Im Grunde genommen sind solche Systeme von den nicht isotropen 

 nicht verschieden, welche ihren Ausdruck in diesen Ellipsen findet, und davon soll jetzt 

 die Rede sein. 



Sämtliche Komplexe überhaupt sind miteinander durch eindeutige kristallographische 

 Projektivität verbunden; eindeutige, weil jeder Strahl durch die Indizes (p 1 p s ) ausgedrückt 

 werden kann und dies ist für sämtliche Komplexe der Fall; also jede zwei Strahlen von 

 irgendwelchen zwei verschiedenen Komplexen, welche durch dieselben Indizes (p 1 p^) aus- 

 gedrückt werden, sind untereinander eindeutig projektiv verbunden. Daß die Projektivität 

 die kristallographische ist. erhellt daraus, daß auch nach der Deformation das Netz in 

 ein anderes Netz verwandelt wird, das heißt gleiche und parallele gerade Strecken 

 bleiben auch nach der Deformation gleich, und parallel, und das ist gerade die Charak- 

 teristik der kristallographischen Projektivität (Affinität Mobius'). 



