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 Nun läßt sich im allgemeinsten Falle diese Projektivität durch die Gleichungen 



*f*t ~~ tf.. vt-| "" y" l*.i) iA'o 



%% 6^21 ^'l "" T ^<>2 *^2 



ausdrücken. 1 ) 



Demgemäß erhält die Gleichung des Kreises 



x\ -f- x\ = r 2 

 nach der Deformation die Form: 



oc? (a£ + a£) — 2 ar,' £ 2 ' (« n « 21 + a 18 « 22 ) + # 2 2 («jf + O = r a J a ( 4 = ' "" * 12 ) . 



\ I M 21 M 22 1/ 



Diese Kurve II. Ordnung ist die Ellipse, da für dieselbe die Bedingung ±AC — S i >0 

 Geltung hat, weil: 



4 (a£ + ai) (o»! + ag) — 4 (a n « 21 + « I2 a 22 ) 2 = 4 (a n a 22 — a 2I a 12 ) 2 = 4 4* >0 . 



Im besonderen, wenn 4 = 1, ist die Deformation eine Gesamtheit von Verschiebungen, 

 da dabei die Flächengröße der parallelogrammatischen Maschen unverändert bleibt. 



Diese Ellipse wird Projektivitätskurve genannt, da dieselbe bildlich den Effekt 

 der Deformation darstellt. 



Infolge eines bekannten Satzes kann das Quadrat durch homogene , !t 



Deformation in ein beliebiges Parallelogramm verwandelt werden. A^^7' ~> -/ 



Andererseits läßt sich in einem beliebigen Parallelogramm ab c d eine / '> /y' / 



bestimmte Ellipse einschreiben, deren zwei koordinierte Diameter eg /f '''/' K ° sf 

 und fh (Fig. 11) den Seiten des gegebenen Parallelogramm respektive /JC /^K/ , 

 parallel sind. ^ 



Daraus ist zu schließen, daß die Besonderheiten der iso- Fig. 11. 



tropen Komplexe nach der Deformation verloren gehen, und man 



kann sämtliche deformierte Komplexe aus einem einzigen, zum Beispiel von {11} ent- 

 standen, annehmen. 



Natürlich ändert sich das Quadrat je nach der Art der Deformation. Wird es dabei 

 in ein Kechteck verwandelt, so verbleiben zwei senkrechte Symmetrieebenen, und der 

 Komplex wird rhombisch; sonst erhält er die Zugehörigkeit zur monoklinen Syngonie. 



Aber stets wird für seine Bestimmung eine einzige parallelogrammatische Masche 

 hinreichend, da dieselbe uns außer den Strahlen o f und o g noch zwei Strahlen o a und o b 

 offenbart; zur vollständigen Bestimmung des Komplexes sind aber schon drei Strahlen 

 hinreichend. 



Für die isotropen Komplexe gilt als Ausdruck der komplexialen Symmetrieverhältnisse 

 der Kreis als eine partikuläre Form der Ellipse. In demselben sind alle zwei senkrechte 

 Durchmesser die konjugierten, und wenn einer derselben Komplexstrahl ist, so gilt dasselbe 

 auch für den senkrechten Strahl. 



Da aber die homogene Deformation von solchen Eigenschaften, wie die Zuordnung 

 der konjugierten Strahlen, unberührt bleibt, so kann man für die beliebige Ellipse als 

 Projektivitätskurve sagen, daß, wenn einer ihrer Durchmesser der Komplexstrahl ist, das- 



i ) Die betreffenden Fragen wurden in der III. analytiseh-kristallographischen Studie speziell behandelt. 



