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selbe auch für den konjugierten Durchmesser gilt. Ist also eine der Hauptachsen der 

 Ellipse der Komplexstrahl, so ist dasselbe auch für die andere der Fall. Das bezeichnet 

 den Fall eines rhombischen Komplexes; im monoklinen Komplex ist dies für keine der 

 Hauptachsen der Fall, das heißt: die beiden Hauptachsen sind irrational. 



Dadurch erhalten die Syngonieeigenschaften in Ellipsen als Projektivitätskurven ihren 

 genauen Ausdruck. 



In der Projektivitätsellipse findet seinen Ausdruck das Gesetz der Verteilung der 

 rationalen Vektoren samt ihren Strecken. 



Wenn auch die Frage über den isotropen Komplex, aus welchem jeder gegebene abge- 

 leitet gedacht werden muß, die unbestimmte Lösung erhält — da diese Lösung schon 

 außerhalb der Grenzen der Syngonielehre enthalten ist — , so ist doch die aus irgend- 

 welchem Grunde gefaßte Lösung in der Form einer oder zweier Ellipsen, welche in Di- resp. 

 Triparallelogonen eingeschrieben sind, zugleich die Lösung der Frage über denjenigen iso- 

 tropen Komplex resp. das isotrope ebene Netz, aus welchen die gegebenen entstanden gedacht 

 werden müssen. 



Und nun ist jeder Vektor durch dieselben Indizes (p t p 2 ) bestimmt, welche in dem 

 isotropen Komplex eindeutig auch seinen Parameter bestimmten. Jetzt aber erhält jeder 

 Strahl nicht diejenige Strecke, welche ihm durch den Parameter zugeschrieben wird, sondern 

 er kommt verändert vor, und gerade das Gesetz dieser Veränderung ist das Ellipsengesetz. 

 Für jede gegebene rationale Richtung eines ebenen Netzes, die Richtung mit bestimmten ihr 

 zukommenden Indizes, kann man jetzt mittelst dieser Indizes und des Ellipsengesetzes die 

 betreffende Streckengröße auffinden: diejenigen, welche gleiche Parameter besaßen, erhalten 



jetzt ungleiche, aber leicht zu bestimmende Strecken- 

 größen bis auf den quadratischen Faktor, welcher 

 dabei ebenso ausfällt, wie dies für die isotropen 

 Komplexe der Fall ist. Auch die gleichen Winkel 

 zwischen den Strahlen von gleichem Parameter 

 werden durch eine Reihe ungleicher, einem be- 

 stimmten Gesetz folgenden Winkel ersetzt. 1 ) 



Das Ellipsen gesetz ist also das Grundgesetz der 

 Syngonielehre in der Ebene. 



Wenn aber die Ellipse unbekannt bleibt und 

 nur drei Strahlen gegeben sind, was eigentlich für 

 die Bestimmung des Strahlenkomplexes hinreichend 

 ist, so ist es doch möglich die Syngonieart des 

 betreffenden Komplexes aufzufinden. 



Fig. 12. 



l ) Dieses Gesetz ist leicht zu formulieren. Es seien Oa, Oa t , Oa 2 . . . (Fig. 12) die unter gleichen 

 Winkeln stehenden Strahlen eines isotropen Komplexes; es sei die Punktreihe a, it,, a 2 . . . durch die 

 erfolgte Deformation (welche den Kreis in die gegebene Ellipse verwandelt) durch die Punktreihe b, b u 6 2 . _ 

 ersetzt. Xun ist nötig die beiden Punktreihen, als die projektiven, in Perspektive Lage zu setzen, also 

 z. B. den Punkt b mit dem ihm zugeordneten Punkt a in Koinzidenz zu bringen und dabei die Reihe b 

 in die parallele Lage der Reihe b' zu führen. Dann genügt es, irgend zwei Paare zugeordneter Punkte, 

 z. B. a l und 6/, a<> und & 2 ' durch Gerade zu verbinden, welche sich in dem Punkte 0' schneiden. Durch da3 

 Projizieren aus diesem Punkte erhält man die der Punktreihe a h Oj, 03 . . zugeordnete Punktreihe 6 4 ' b 2 63'. . . 

 und es ist der Strahlenbüschel Oa, Ob^, Ob 2 , Ob % ' . . . der gesuchte. 



