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Zuerst finden wir die Größen der Tangentenquadrate beider Winkel, und falls die- 

 selben in einem und demselben rationalen Parameter sich auflösen lassen, so kann man 

 nicht nur behaupten, daß der Komplex der isotrope ist, sondern zugleich durch seine 

 Konstante — Parameter — charakterisiert wird. Aber nur in den Fällen der Gleichheit dieser 

 Parameter mit den Zahlen 1 resp. 3 haben wir das Recht von bestimmten Syngoniearten 

 zu sprechen und zwar der tetragonalen resp. der hexagonalen. Sonst bleibt die Antwort 

 unbestimmt (wie wir im folgenden Teile erkennen, erscheinen solche Komplexe nur als die 

 Ebenen der rationalen Schnitte eines isotropen räumlichen Komplexes). 



Ist dies nicht der Fall, so bleibt nur eine Entwicklung des Komplexes auszuführen 

 und das Vorhandensein zweier zueinander senkrechter Strahlen zu prüfen. Führt diese 

 Prüfung zu positivem Resultat, so können wir behaupten, daß der Komplex der rhombische 

 ist. In dem Falle des negativen Resultates können wir sagen, daß die Prüfung in den 

 Grenzen der ausgeführten Entwicklung (zum Beispiel in n bestimmten Perioden) als Resultat 

 zu einem monoklinen Komplex geführt hätte. 



Wie gesagt, dient die für jeden Komplex charakteristische Kurve, Piojektivitätsellipse 

 als Indexkurve aller wesentlichen Eigenschaften des Komplexes, unter anderem auch seiner 

 (das heißt komplexialer) Symmetrie. Zugleich aber entsteht sie aus der homogenen Deformation 

 des Kreises, als Indexkurve eines isotropen Komplexes. Bei dieser Deformation gehen aber 

 Symmetrieelemente verloren (außer dem Inversionszentrum und der zur Komplexebene senk- 

 rechten Gerade, welche stets zweizählige Symmetrieachse bleibt). Als Ausnahmefall ver- 

 bleiben zwei senkrechte Symmetrieebenen, und dann haben wir einen speziellen Fall des 

 rhombischen Komplexes. Wir wollen jetzt von diesem speziellen Ausnahmefall absehen 

 und die Frage aufstellen, was verbleibt von den Symmetrieelementen in dem allge- 

 meinen Fall? 



Wenn vor der Deformation AB Symmetrieebene ist, so soll 

 iedem Punkt a ein Punkt a' zugeordnet werden, welcher sich auf der- 

 selben zu AB senkrechten Gerade aBa' befindet, und dabei aB = a'B 

 ist. Bezeichnen wir den zur A B senkrechten Strahl durch r, so 

 bildet die Gesamtheit der Strahlen (r r' r" r'") ein sogenanntes 

 harmonisches Strahlenbündel, da 



sin r r sm r r 



sin r r sin r r 



= - 1, 



was man noch einfacher durch die symbolische Gleichheit (rr'r"r'") = — 1 bezeichnet. 



Xach der erfolgten Deformation bleibt aber diese Gleichheit bestehen. Wenn also 

 die Symmetrieebene verschwindet, so behält doch diese wesentliche Bedingung ihre Gültig- 

 keit: harmonische Eigenschaften sind also diejenigen, welche für sämtliche 

 Komplexe charakteristisch sind und nur für spezielle (z. B. rhombische und ganz 

 besonders für die isotropen) Komplexe zu Symmetrieeigenschaften werden. Es 

 besteht also zwischen komplexialer Symmetrie und Harmonie eine nahe Verwandtschaft. 

 Demzufolge lassen sich auch Harmonieelemente — und dies haben gerade Herr Gold- 

 schmidt und besonders Herr Viola 1 ) getan — bestimmen, also solche Symmetrieelemente 



l ) In 3einen „Grundzügen der Kristallographie", Leipzig 1904. 

 Abh. d. II. Kl. d. K. Ak. d. Wias. XXIII. Bd. I.Abt. 



