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des Komplexes, welche durch die betreffende homogene Deformation verloren gegangen sind. 

 Außer Harmonieebenen können wir also Harmonieachsen unterscheiden, aber keines- 

 wegs spezielle Elemente der zusammengesetzten Harmonie, da solche spezielle Symmetrie- 

 elemente von vornherein den Komplexen eigen sind, wenn die respektiven Symmetrieachsen 

 vorhanden sind (vierzählige Achse der zusammengesetzten Symmetrie, wenn vierzählige 

 Symmetrieachse, und sechszählige Achsen der zusammengesetzten Symmetrie, wenn sechs- 

 zählige Symmetrieachse vorhanden ist). 



Diese verwandtschaftlichen Beziehungen existieren aber ausschließlich zwischen den 

 Harmonieelementen und den Elementen der komplexialen Symmetrie, keineswegs 

 aber den Elementen der realen (resp. wirklichen) Symmetrieelementen. Wenn wir unter 

 Symmetrieelementen eines Komplexes die komplexialen und realen unterscheiden können, 

 so ist dies nicht der Fall für die Harmonieelemente, welche ausschließlich komplexial sind. 



Und gerade nun die Symmetrieelemente sind die individuellen, ganz bestimmten geo- 

 metrischen Gebilde, während komplexiale Symmetrieelemente in unendlicher Anzahl vor- 

 handen sind, z. B. sämtliche Strahlen eines isotropen Komplexes sind die Tracen der kom- 

 plexialen Symmetrieebenen, also auch sämtliche Strahlen eines beliebigen Komplexes sind 

 die Harmonieebenen; allen kommt die gleiche Rolle in einem Komplex zu, welchem spezielle 

 reelle Symmetrieelemente fehlen. Das Vorhandensein eines realen Symmetrieelementes ist 

 also eine wichtige und ganz bestimmte Konstante dieses Komplexes, was für die Harmonie- 

 elemente nicht der Fall ist. 



Da alle Harmonieeigenschaften durch obige Gleichheit einen vollständigen Ausdruck 

 erhalten, wenn man — 1 durch sämtliche rationale Zahlen ersetzt, und dieser Ausdruck nichts 

 anderes ist als die Bedingung der Rationalität des Komplexes, welche schon seit Gauss 

 und Miller festgestellt und ausführlich studiert wurde, so kann man sagen, daß Harmonie 

 nur ein neues Fachwort ist und keinen neuen Inhalt mit sich bringt. 



Wenn also Rationalität der Komplexe dasselbe Ding ist, wie deren Harmonie, so 

 würden auch die Bezeichnungen rationale Komplexe und harmonische Komplexe als iden- 

 tische zu betrachten sein, und also auch die Lehre von den rationalen Komplexen, d. h. die 

 Syngonielehre, zugleich die Lehre über harmonische Strahlenbündel sein, wo aber darunter 

 nicht nur vier bestimmte, sondern unendlich viele Strahlen verstanden werden, gemäß der 

 Definition der Harmonie. 



Aus den verwandtschaftlichen Beziehungen zwischen Elementen der komplexialen Sym- 

 metrie- und Harmonieelementen können wir schließen, daß außer den in jedem Komplexe 

 vorhandenen realen Symmetrieelementen nur Harmonieebene, sowie vier- und sechszählige 

 Harmonieachsen möglich sind (nicht aber acht-, zehn . . . zählige). 



Diese verwandtschaftlichen Beziehungen sind aber einseitig. Ein komplexiales Symmetrie- 

 element verwandelt sich nach der Deformation in ein zugeordnetes Harmonieelement und 

 nicht umgekehrt. Das ersieht man daraus, daß nur bestimmte Komplexe vier- und sechs- 

 zählige Symmetrieachsen, ebenso wie Symmetrieebenen besitzen können; es gibt sogar 

 unendlich viele isotrope Komplexe, in welchen die erwähnten Symmetrieelemente fehlen. 

 Für Harmonieelemente ist dies nicht der Fall. In dieser Hinsicht sind sämtliche Komplexe 

 gleich. Wir können z. B. aus dem Komplexe beliebig drei Strahlen herauswählen und da 

 dieselben die Tracen der Harmonieebenen sind, so ist die Schnittgerade dieser Ebenen 

 (Zonenachse) die sechszählige Harmonieachse. Jeder harmonische vierstrahlige Büschel, 



