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welcher aus dem Komplexe in unzähliger Anzahl herausgenommen werden kann (dabei 

 drei Strahlen beliebig herausgenommen), kann als Beweis dienen, daß der Komplex zugleich 

 eine vierzählige Harmonieachse besitzt. 



In Anbetracht dessen, daß die Einführung der neuen Fachwörter „Harmonie", 

 „Hannonieelemente" u. dgl. keinen neuen Inhalt mitbringt, infolge der eben erwähnten 

 Einseitigkeit, welche Veranlassung zu einer Verlegenheit gibt, glaube ich nicht, daß sie den 

 alten Fachwörtern „rationale Doppelverhältnisse", „rationale Komplexe" vorzuziehen ist. 

 Dabei spielen auch „harmonische Doppelverhältnisse" eine wichtige Rolle und waren stets 

 im Gebrauch, ebenso wie anharmonische resp. Doppelverhältnisse schlechtweg. 1 ) In der 

 Tat. wenn in komplexialer Hinsicht sämtlichen Strahlen eine ganz gleiche harmonische 

 Rolle zukommt, wenn man also die Eigenschaften der rationalen Komplexe überhaupt 

 kennt, wozu dann dieselben Strahlen noch als die Tracen der Harmonieebenen bezeichnen? 

 Darin liegt keine neue Entdeckung. Dies würde der Fall sein, wenn nur einige individuelle 

 Strahlen solche Eigenschaften besitzen würden, welche den übrigen fehlen, wie dies für 

 die Symmetrieeigenschaften der Fall ist, oder wenn dabei solche Eigenschaften entdeckt 

 würden und nur durch diese Bezeichnungen ausgedrückt werden könnten, welche bisher 

 unbekannt waren. Dies ist aber nicht der Fall und es bleiben nur leere Wörter übrig. 



II. Teil. 

 Syngonielehre im Räume. 



Xachdem die Eigenschaften des ebenen rationalen Komplexes untersucht wurden, 

 entstellt am allerersten die Frage, was unter dem rationalen Komplex im Räume zu 

 verstehen ist. 



In Anbetracht dessen, daß die Fragen der Geometrie zweier Dimensionen nur parti- 

 kuläre Fälle derjenigen im Räume sind, kann man die Forderung aufstellen, daß jeder 

 ebene Schnitt des rationalen Raumkomplexes ein rationaler ebener Komplex sein muß. 

 Um aber eine solche Definition zulässig zu machen, muß der Beweis erbracht werden, daß 

 solche Komplexe wirklich existieren. 



Xun ist es leicht den Beweis zu erbringen, daß wirklich ein solcher Komplex entsteht 

 aus vier beliebig im Räume gedachten Strahlen (von welchen keine drei komplanar sind) 

 mit der Anwendung der bekannten Regeln der Zonenentwicklung, welche durch das Zonen- 

 gesetz bedingt worden sind. 



Zuerst beweisen wir den Satz, nach welchem zwei in perspektivischer Lage sich 

 befindende ebene Komplexe beide rational sind, wenn einer davon rational ist. 



') Z. B. „Die Determinanten und anharmonischen Verhältnisse in dem Gebiete der Kristallographie" 

 wurden zum alleinigen Objekt der IL analytischen kristallographiscben Studie des Verfassers, und dort 

 wurde die hierzu gehörige Literatur erwähnt und benutzt. Sogar sämtliche vier erwähnte Studien sind 

 auf der projektiven Geometrie fußend, und gerade für diese stellt der Begriff des „anharmonischen" 

 Verhältnisses den Grundbegriff dar. 



