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Es sei ein ebener rationaler Komplex mit den Winkeln a, b, c . . gegeben (Fig. 14) ; 

 es sei ein anderer ebener Komplex mit den zugeordneten Winkeln a', b', c' . . in persjjek- 

 tivischer Lage mit demselben befindliche gegeben, indem die beiden den zugeordneten 

 Strahl A gemein haben, und sämtliche andere zugeordnete Strahlen, durch große Kreise 

 vereinigt, den Hauptstrahl C der Perspektive bedingen. 



Nun haben wir: 



sin a sin f sin (a + b) sin g 



sin a 



sin cp 



sin (a + ß) 



sin <p 



Auch : 









sin c 



_ sin 9 . 



sin (b -f- c) 



sin f 



oder 



sm a 



sin /' sin a 



sin (a -f 6) sin # sin (a -\- ß)' 



sin y sin y> 



Also 



sin a 



sin (ß -\- y) sin y 

 sin (b -\- c) 



oder 



sm c 



sin g sm 





sin (b -\- c) sin f sin (/3 + 7) ' 

 sin a sin (jS -f y) 



1) 



sin (a -\- b) ' sin c sin (a-\- ß)' sin y 



wo Z; eine beliebige rationale Zahl ist, gemäl3 der Voraussetzung. 



Da der zweite Teil von der Lage der in perspektivischer Lage befindlichen Komplexe 

 11 . . , a' . . unabhängig ist, so besteht ebenfalls die Relation: 



sin a' sin (b' + c') 



h, 



la) 



sin (a' -\- b') ' sin c' 

 was zu beweisen war. 



Aus diesen Formeln folgt zugleich, daß nicht nur die ebenen Strahlenkomplexe 

 selbst (mit den Winkeln a . . a' . .), sondern auch die Zonenkomplexe der Strahlen- 

 ebenen rational sind. 



Wenn wir in dem geführten Beweise die Strahlen durch die Normalen zu Ebenen- 

 biischel ersetzen, so erhalten wir dasselbe Resultat der Rationalität der Normalenkomplexe 

 ebenso wie der Ebenenbüschel selbst. 



Daraus folgt, daß, wenn wir für die integrierenden Teile des Raumkomplexes alle 

 Strahlen halten würden, welche die Schnittgeraden zweier rationalen projizierenden Ebenen- 

 büschel sind, der Raumkomplex selbst rational wird. 



Es seien zwei rationale Ebenenbüschel A (mit den Winkeln a . .) und A' (mit den 

 Winkeln a' . .) als Bestimmungsbüschel des Raumkomplexes ausgewählt (Fig. 15); dann 

 bestimmen zwei zugeordnete Ebenenpaare dieser Büschel zwei Schnittstrahlen und zugleich 



Fis. 15. 



