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Man ersieht sogleich aus den letzten Teilen der Gleichungen, daß jede derselben nur 

 eine Folgerung der beiden anderen ist und sich durch einfache Multiplikation erhalten läßt. 

 Das muß auch für die ersten Teile der Fall sein. Wenn zwei derselben rationale Zahlen 

 sind, so ist dies der Fall für alle angegebenen Doppelverkältnisse, und diese sind die 

 bekannten Gaussschen Doppelverhältnisse für einen kristallographischen Komplex. 



Nun kann man sagen, daß jeder Strahl eines Raumkomplexes durch zwei 

 rationale Winkel als sphärische Koordinaten desselben sich bestimmen läßt. 



Im I. Teile wurden die wichtigsten speziellen Komplexe, die isotropen, mit besonderer 

 Umständlichkeit untersucht. Dieselben zeichnen sich dadurch aus, daß die Tangenten- 

 quadrate sämtlicher Winkel derselben rationale Zahlen sind und in der Form c # 4 dargestellt 

 werden können, wo die ganze Zahl c, welche keine zwei gleiche Faktoren besitzt, als Para- 

 meter bezeichnet wurde. 



Nun ist leicht der Beweis zu erbringen, daß auch in Raum- 

 komplexen sämtliche ebene Komplexe (Zonen), als in- 

 tegrierende Teile derselben, isotrop sind, wenn für 

 zwei Bestimmungskomplexe die isotropen genommen 

 sind, und wenn die Achsen dieser beiden aufeinander 

 senkrecht stehen. 



Nehmen wir als die den Raumkomplex bestimmenden die 

 isotropen Ebenenbüschel, deren Achsen die senkrechten Geraden 

 A und G sind (Fig. 17). 



Da der Winkel ß ein rechter ist, so ist nach bekannter Formel der sphärischen 

 Trigonometrie: 



cos 4 b = cos 4 c cos 2 « oder — = — 



1 -\- t * b (1 -f- t 4 c) (1 -j- t 4 ä) 



Also 



t 4 6 = t 4 a + t* c + t 4 a t 2 c. 3) 



Wenn t 4 a und t 2 c rationale Zahlen sind, so ist dies auch für t 2 b der Fall, was zu 

 beweisen war. 



Solche Raumkomplexe werden ebenfalls als isotrope bezeichnet. 



Diesem Satze gemäß sind die Quadrate der Tangenten von sämtlichen Winkeln, als 

 integrierenden Teilen der isotropen Komplexe, rationale Zahlen, welchen die Form c q 2 

 zugeschrieben werden kann. Da durch jeden Strahl derselben unendlich viele isotrope 

 ebene Komplexe gezogen werden können, und in jedem derselben notwendig ein zum 

 gegebenen senkrechter Strahl vorhanden ist, so ist zugleich demselben die ihm senkrechte 

 komplexiale Ebene zugeordnet, und die einzelnen Strahlen der letzteren bilden dieselben 

 ebenen Winkel, wie die Flächenwinkel der durch diesen Strahl hindurchgehenden Ebenen. 

 Wenn also der Parameter c charakteristisch ist für den ebenen Strahlenkomplex, so gilt 

 genau dasselbe auch für die Flächenwinkel der letzteren Ebenenbüschel. Wir können also 

 nicht nur jedem ebenen Schnitte eines isotropen Komplexes, sondern auch jedem einzelnen 

 Strahl einen bestimmten Parameter in der Form einer ganzen Zahl zuschreiben, und dieser 

 Parameter wird derselbe für einen beliebigen Strahl und für den ihm senkrechten ebenen 

 Komplex. 



