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Ersetzen wir in der Gleichung 3) die Tangentenquadrate durch die rationalen Zahlen 

 von bekannter Form, so erhalten wir 



oder 



p (p <z, gtf = p, (m &)* + p, (s s, P2? + -P, P-2 Gz Pi p*T- 



Da alle vier Zahlen p q x q 2 , ^ 2, # 2 , ÜPiO.? un & QPiP-2 voneinander unabhängig sind, 

 so ist einfacher dieselbe Gleichung iu der Form: 



Pp^ = P 1 pt-\-P 3 pl + P 1 P s pl 4) 



Hier bedeuten P, und P 2 die Parameterzahlen der beiden den isotropen Komplex 

 bedingenden senkrechten Zonen. Der Anschaulichkeit wegen können wir diese Zonen 

 durch die zugeordneten Parameterzahlen bezeichnen. 



Nehmen wir jetzt anstatt der Zone P 2 eine andere zu P 1 senkrechte Zone mit dem 

 Parameter P, P 2 . Dann erhalten wir als die entsprechende Gleichung: 



Pp* = P lP i + P i P i p\-{-P\P,pl=P l p\ + P l P i pl^P i Pl 4a) 



Somit verhält sich die Zone P 2 zu den Zonen P, und P : P 2 , ebenso wie P 1 P 2 zu 

 den Zonen P 1 und P 2 . Da aber P 2 als die zu P 1 senkrechte Zone angenommen wurde, 

 so müssen alle drei Zonen P,, P 2 und P 3 zu einander senkrechte Zonen sein. 



Also die in jedem isotropen Komplex zu beiden senkrechten gegebenen 

 Zonen mit den Parametern P x und P 2 senkrechte Zone besitzt den Parameter 

 P x P 2 , wie beliebig die Zonen P, und P 2 auch aus dem Komplex herausge- 

 nommen würden. 



Dieser sehr wichtige Satz von allgemeiner Bedeutung für die isotropen Komplexe 

 wäre als Grundsatz für dieselben zu bezeichnen. 



Da Pj X P 2 X Pj P 2 = (Pj P 2 )*, so . kann man denselben Satz auch derart formulieren, 

 daß das Produkt der Parameter dreier sonst beliebigen, aber zueinander senk- 

 rechten Zonen stets ein volles Quadrat ist. 



Multiplizieren wir die Parameterzahlen der drei senkrechten Zonen mit einer dieser 

 Zahlen, so erhalten wir drei Zahlen, welche schon die Bedingung für drei senkrechte Zonen 

 eines isotropen Komplexes nicht mehr erfüllen. 



Multiplizieren wir zum Beispiel die Zahlen P v P 2 , P 1 P 2 mit P v so erhalten wir PJ, 

 Pj P 2 , PIP 2 respektive 1, P X P V P 2 (da P\ als volles Quadrat eine verschwindende Zahl ist); 

 nun sieht man, daß eine dieser Zahlen keineswegs das Produkt der beiden anderen ist; 

 auch ist das Produkt aller drei P x P|, also kein volles Quadrat. 



Darin ersehen wir einen Grundunterschied in der Bedeutung dieser Zahlen für den ebenen 

 und für den Raumkomplex. Im isotropen Raumkomplexe ist nicht gestattet die 

 Parameterzahlen sämtlich durch irgendwelche ganze Zahl zu multiplizieren, 

 da auch die Zahlen P, k, P 2 h, P, P 2 h die Bedingungen nicht erfüllen, welche den Para- 

 metern dreier senkrechten Zonen zukommen. 



In isotropen Raumkomplexen kommt den Parameterzahlen eine absolute 

 Bedeutung zu. 



Auf Grund derselben Formel der sphärischen Trigonometrie können wir auch schreiben : 



