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cos — = = cos a cos y -f- sin a sin y cos & oder t a t y = 



cos &' 

 oder weiter 



t*a t 2 }' = — L- = l+t 2 & 

 cos'o 



oder endlich 



t s i=-t*at*y — 1. 5) 



Der Vergleich dieser Formel mit 3) zeigt, daß wir den Parameter desselben Strahles 

 auch vermittelst sphärischer Koordinaten anderer Art bestimmen können. 



Auch dieser Formel kommt hervorragende Bedeutung zu in Anbetracht der zahl- 

 reichen Folgerungen, welche zur Aufklärung der Eigenschaften der isotropen Komplexe 

 beitragen. 



Ziehen wir in Betracht, daß jedes Tangentenquadrat des isotropen Komplexes eine 



Zahl von der Form a ( — 1 ist, wo a, p und q ganze Zahlen sind, dabei p und q ganz 

 beliebige. 



Es seien : 



"-*(&)'• *-'©\"-°&)' 



Denken wir zuerst, daß a t und a 2 ganz beliebig herausgenommen werden, aber y 1 : a 2 

 = y 2 : a, . Diesen Werten entsprechen unendlich viele Werte der Winkel a und y, aber 

 nur solche, welche zweien isotropen ebenen Zonen mit den Parametern A resp. G ent- 

 sprechen und dabei in bestimmt koordinierten Kombinationen stehen. Für alle diese Koordi- 

 natenkombinationen bleibt das Produkt t 2 a t 2 y konstant, folglich auch t 2 h. Die unend- 

 liche Gesamtheit aller dieser Strahlen des Komplexes besitzt einen und denselben Para- 

 meter B. 



Weiter denken wir sämtliche Glieder dieser Gleichheit mit dem Quadrat einer beliebigen 

 rationalen Zahl c multipliziert; also: 



t* V = c 1 1 2 b = c 1 1 2 a t 2 y — c l . 5 a) 



Als Koordinaten können wir jedesmal beliebig t 2 a' = c 2 t 2 a oder t 2 y' = c 2 t 2 y setzen. 

 Diese beiden Annahmen entsprechen den Winkelkombinationen (a' y) oder (a y'), welche 

 untereinander und zugleich von den oben erwähnten wesentlich verschieden sind. Trotzdem 

 erhalten wir für b' solche Werte, welche den Strahlen mit demselben Parameter entsprechen, 

 obgleich diese Werte von den obigen Werten b verschieden sind; es ist aber natürlich, daß 

 alle Werte von V gerade die Gesamtheit der Winkel der isotropen Zone mit dem Parameter 

 JB umfassen. 



So verschiedenartig erweist sich die Entwicklung desjenigen Teiles des Gesamtkom- 

 plexes, welche allein die Strahlen mit gleichen Parameter, also die parametrisch gleichen 

 Strahlen, umfaßt. Diese Gesamtheit in Analogie mit der im I. Teile gemachten Annahme 

 kann als ein Teilkomplex mit dem Parameter B bezeichnet werden. 



Weiter ersehen wir aus der Formel 5) direkt, daß die Ebene A C Symmetrieebene 

 des Komplexes ist. Da aber die senkrechten Strahlen A und C aus dem Komplex in seiner 

 beliebigen Ebene herausgenommen wurden, so sind sämtliche Strahlenebenen des 



