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Dies ist aber nicht der Fall, wie man aus dem Folgenden ersieht. 

 Es sei C ein Komplexstrahl, welcher als die Achse eines Kegels mit dem sphärischen 

 Radius Ca' angenommen ist (Fig. 18). Es seien a, a 1 , a 2 . . . die in der zu C senkrechten 

 Ebene vorkommenden gleichen, und b, c . . . die ungleichen Strahlen. 

 Dadurch wird die unendliche Anzahl von ebenen Komplexstrahlen be- 

 dingt, welche sämtlich den Strahl C mit bestimmten Parameter gemein- 

 es T ö 



sam haben. Unter diesen Komplexen sind die Komplexe Ca, Ca v Ca 2 . . 



die gleichen, da sie durch gleiche Parameter auf senkrechten Strahlen 



bestimmt sind; folglich müssen auch die Strahlen a', a t \ a 2 auf der 

 Fi" 18 Kegelfläche die gleichen sein. Würden aber auch die Strahlen b', c' . . 



auf derselben Kegelfläche möglich sein, so würde dies bedeuten, daß auch 

 die Komplexe Cb, C c . . . den Komplexen Ca... gleich sind, da für die Gleichheit der 

 ebenenen isotropen Komplexe die Gleichheit je eines Winkels hinreichend ist, und hier 

 haben wir die gleichen Winkel C a' = C V = C c' . . . 



Die Strahlen b', & . . . sind also unmöglich, das heißt sie können in dem gegebenen 

 Komplexe nicht vorhanden sein. Somit entsteht ein scheinbarer Widerspruch mit der 

 Formel 5). Dieser Widerspruch entsteht aber infolgedessen, daß die Koordinatenwinkel 

 a, y nicht voneinander unabhängig sind, und davon ist in Formel 5) nichts enthalten. 



Die zwischen a und y bestehende Koordination kann auf folgendem Wege aufgeklärt 

 werden. Bezeichnen wir diejenigen zwei Winkel, welche aus dem rechten Winkel A C 

 durch die Zone JB JB' entstehen, durch /3, resp. ß y so erhalten wir: 1 ) 



t 2 a = t 2 ß 2 (1 + t 2 c) = P a P c (1 + P c *») C 2 = P a (P c p\ + B) Ol 

 t 2 y = t 2 ß, (l+t*a) = P a P c (l + P a l 1 *) C* = P c (P a ql + qt) C[\ 



Aus dieser Formel ersieht man sogleich, daß a nicht sämtliche für den Komplex 

 zulässige Gi-ößen annehmen kann. Im Gegenteil nimmt die Gesamtheit von Zahlen t % a 

 nur die Werte derjenigen Zahlenreihe an, welche einem ebenen Komplex {P c • 1} entspricht, 

 und dabei noch mit P a multipliziert. Der erste Faktor aller dieser Zahlen ist also gerade 

 derselbe, wie für den Komplex von t* (c). Falls also in dieser unendlichen Reihe auch die 

 Zahl P a vorkommt, so bringt die Einführung der Faktoren P a keine Änderung, und die 

 beiden Zahlenreihen sind identisch. Ist dies aber nicht der Fall, so haben die beiden 

 Zahlenreihen keine einzige Zahl gemeinsam. 



Natürlich gilt dasselbe auch in Bezug auf die Zahlen der Reihe t 2 y und {P a ■ 1}. 



Jedenfalls läßt sich die Gesamtheit der Koordinaten t 2 a (wie t 2 ;-) als eine solche auf- 

 fassen, welche den Zahlen einer einzigen Zone entsprechen. 



Übrigens kann dieser Schluß als selbstverständlich gelten. Wenn in der Tat D der 

 zu C senkrechte Strahl der Zone ist, welche durch die Koordinate a bestimmt wird, und 

 D' die Achse dieser Zone ist, so sind die Parameter beider identisch. Die Strahlen D und 

 D' sind die senkrechten, also koordinierte Strahlen der Zone C; jedem Strahle dieser Zone 

 entsprechen die Zahlen x{P c -l\, wo x eine beliebige Zahl der betreffenden Zahlenreihe 

 ist, und nun ist in dieser Zahlenreihe allein die Zahl P a gegeben, welche den Parameter 



') Dem oben erwähnten Satze zufolge besitzt die Zone A C den Parameter Pa Pc , wenn Pa der 

 Parameter des Strahles A, und Pc der Parameter des Strahles C ist. 



