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des Strahles A darstellt, folglich x = P„. Ist P a = 1, so ist dasselbe für x der Fall, aber 

 das ist ein sehr partikulärer Fall. 



Wenn P x der Parameter eines Strahles der Zone D AD' z. B. D' ist, so sind die 

 betreffenden Parameter der Zone CD die Gesamtheit der Zahlen P C {P X -1\; folglich ist 

 die vollständige Gesamtheit aller Parameterzahlen des Komplexes: 



P, [P, {P c • 1} • 1] = [P a {P c ■ 1} ■ PJ resp. [P e {P„ • 1} • P a ] . 7) 



Dieser Ausdruck, welchen man einfacher durch ein einheitliches Symbol [P„ • PJ 

 ersetzt, kann als Symbol des Gesamtkomplexes gelten, da in demselben sämtliche Parameter- 

 zahlen eingeschlossen sind. 



Im Gegensatz zu den ebenen Komplexen ist hier nicht gestattet die Zahlen mit irgend- 

 welcher Zahl weder zu multiplizieren noch dividieren, da in Raumkomplexen jeder Para- 

 meterzahl eine absolute Bedeutung zukommt; diese Zahl bedingt nämlich die Entwicklung 

 der betreffenden Zone in eine Reihe bestimmter Winkel. Führt man einen beliebigen 

 Faktor ein, so wird die Winkelreihe selbst eine ganz andere. 



Also z. B. drücken solche zwei Symbole wie [3 • 1], [6 -2], [3 • 4] . . . ganz ver- 

 schiedene Raumkomplexe aus, oder wenigstens bedarf deren Identität eines speziellen 

 Beweises. 



Wenn aber eine der bestimmenden Zahlen ein volles Quadrat ist, so ist der Para- 

 meter eigentlich gleich 1; also kann man von vornherein schreiben: 



[3-4] = [3-l], [3 .'12] -=[3- 8] = [8.1]... 



Die letzte Gleichung beruht darauf, daß, wenn zwei bestimmende Zahlen A und 

 sind, die Parameterzahl des zu den gegebenen Strahlen senkrechten Strahles A C ist, in 

 diesem speziellen Fall 3 • 3 = 1 • 3 2 ; nun ist es erlaubt, denselben Komplex durch die 

 Zahlen A und A C oder C und A C zu bestimmen. 



Da auf Grund der Formel 7) die Identität besteht 



[A-G] = [A{C-l}-Cr\ = lA-C{A- 1}], 



so kann man sagen, daß, wenn irgendwelche Zahlen der Reihe {C • 1} bekannt sind, z. B. 

 C„ C r C s . . oder wenn irgendwelche Zahlen der Reihe \A • 1} bekannt sind, z. B. A v A v 

 A 3 . . . man eine neue Reihe der Identitäten aufstellen kann und zwar: 



[A.C] = [AC\.C r ] = [AC 2 .C] = [AC 3 .C]... 

 und \_A-C] = IA- A x C] = [Ä-A, Cj = \A- A s 6'] . . . 



Zum Beispiel bestehen die Identitäten (vgl. S. 34 ff.): 



[1-1] = [2-1] = [ 5.1] = [10.1] = [13.1] = [17.1] = [26-1]'... 

 [3 • 1] = [6 • 1] = [15 • 1] = [30 • 1] = [39 • 1] = [51 ■ 1] = [78 • 1] . . . 

 = [3 • 3] = [ 3 • 9] = [3 • 21] = [3 • 39] = [3 • 57] = [3 • 63] . . . 

 [3-1] [3- 7]. 



Jedes Glied dieser Gleichungen können wir durch weitere Entwicklungen als Anfangs- 

 glieder neuer Identitätenreihen darstellen, zum Beispiel: 



([1 • 1] =) [2 • 1] = [2 • 2] = [2 • 3] = [2 • 6] = [2 • 1 1] = [2 • 17] = [2 • 19] . . . 

 auch [5 ■ 1] = [5 • 5] = [5 • 6] = [5 • 14] = [5 • 21] = [5 • 29] = [5, 30] . . . 



