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Alle diese unbegrenzt gedachten Entwicklungen der Identitäten weisen auf das Vor- 

 handensein zweier senkrechten Strahlen in dem gegebenen Komplex mit den angegebenen 

 Parameterzahlen, welche zu koordinierten Paaren vereinigt vorkommen, hin. 



Jedem dieser Zahlenpaare ist noch eine dritte Zahl koordiniert, welche das Produkt 

 beider ist. 



Eine weitere Erforschung der Formel 5) zeigt, daß die Bedingung der Möglichkeit 

 zweier Koordinaten a und y ist: 



t 2 at J />l. 9) 



Ist einer dieser Winkel, z. B. a ein rechter, so hat die Gleichheit t 2 a = OJ statt. 

 Folglich ist auch t J b = CV) unabhängig von dem Werte des Winkels y. Diese Folgerung 

 ist von vornherein klar. 



Alle vorhergehenden Folgerungen über isotrope Raumkomplexe zusammenfassend, 

 können wir sagen, daß jedem Strahle derselben eine bestimmte Parameterzahl zukommt 

 und daß der Gesamtkomplex aus unendlich vielen Teilkomplexen besteht, unter welchen 

 jedem eine bestimmte Parameterzahl zukommt, jeder also durch eine Sphäre repräsentiert 

 werden kann, und die Gesamtheit aller solcher Sphären alle für den Komplex zulässigen 

 Parameterzahlen als deren Radien umfaßt. 



Besonders interessant ist aus dem Vorhergehenden folgende Repräsentation einer 

 einem Teilkomplexe zukommenden Sphäre. Nehmen wir jeden von zwei senkrechten 

 beliebigen Strahlen des Komplexes als die Achsen eines Büschels von einem koaxialen 

 Rotationskegel an, wobei die Öffnungswinkel der Kegel sämtliche Winkel zwischen gleichen 

 Strahlen zweier koordinierten Zonen umfassen, so sind die Schnittstrahlen dieser Kegelflächen 

 die Strahlen eines und desselben Teilkomplexes. Unter koordinierten Zonen werden solche 

 verstanden, deren senkrechten Achsen die koordinierten Parameterzahlenpaare des gegebenen 

 Komplexes sind. 



Da aber jedem koordinierten Strahlenpaar auch ein dritter, zu beiden senkrechter 

 Strahl, koordiniert ist (und seine Parameterzahl das Produkt der beiden Parameterzahlen 

 der gegebenen koordinierten Strahlen ist), so gilt dasselbe auch für das dritte koordinierte 

 Kegelsystem. 



Auf der Sphäre werden die koaxialen Kegeloberflächen durch konzentrische Klein- 

 kreise repräsentiert, und da die gleichen Strahlen einer Zone (ebenen Komplexes) unter 

 lauter gleichen (irrationalen) Winkeln stehen, also die Radien der konzentrischen Kleinkreise 

 eine arithmetische Progression bilden, so kann man das Gesamtsystem von sphärischen 

 konzentrischen Kreisen mit einem Wellensystero vergleichen, und dann können wir diese 

 Folgerung in folgenden Worten zum Ausdruck bringen: 



Ein Teilkomplex wird durch drei koordinierte sphärische Wellensysteme 

 repräsentiert. Knotenpunkte dieser Systeme sind die Strahlen dieses Teil- 

 komplexes. Auf sämtlichen Knotenkreisen dieser Wellensysteme liegt kein 

 einziger Knotenpunkt (resp. ein Komplexstrahl) eines anderen Teilkomplexes. 



Berücksichtigt man, daß die elementare Differenz dieser arithmetischen Progression, 

 welche wir als J a bezeichnen wollen, irrational ist, so kann man daraus schließen, daß 

 unter diesen unendlichen Systemen von Kleinkreisen kein einzigesmal ein Großkreis ent- 

 stehen kann. 



